Esercizio sui massimi e minimi assoluti funzione in due variabile
Buongiorno ragazzi, stavo cercando di risolvere un esercizio sui massimi e minimi assoluti ma mi son bloccato, potete aiutarmi?
Allora, l'esercizio è il seguente:
Determinare gli estremi globali della funzione f(x,y)= $ x^2-xy $ nel dominio $ A=x/2<=y<=2x-x^2 $ .
Per svolgere questo esercizio ho usato il metodo delle 3 categorie, iniziamo dal grafico del dominio, purtroppo dal mio pc non riesco ad usare la funzione "aggiungi grafico" quindi mi limiterò a darne una descrizione.
L'insieme di definizione è dato dalla parte superiore alla retta y=2x e dalla parte inferiore alla parabola rivolta verso il basso, con vertice in (1,1), y=2x-x^2.
1) Le derivate parziali sono:
$ f_x=2x-y $
$ f_y=-x $
che si annullano in (0,0). $ P_1=(0;0) $ è quindi il mio rimo punto candidato per essere massimo o minimo assoluto.
2)Non ci sono punti dove le derivate non esistono
3) Le curve che delimitano la mia frontiera sono:
$ gamma_1=(y=x/2) $
$ gamma_2=(y=2x-x^2) $
La prametrizzazione di $ gamma_1 $ è:
$ { ( x=t ),( y=t/2 ):} $
La parametrizzazione di $ gamma_2 $ è:
$ { ( x=t ),( y=-t^2+2t ):} $
Da $ gamma_1 $ ottengo F(t)= $ t^2/2 $
Da $gamma_2 $ ottengo F(t)= $ t^3-t^2 $
A questo punto non so più come continuare. Come faccio a capire dove varia t? In generale, dopo che so come varia t che procedimenti devo seguire? Non voglio la soluzione dell'esercizio, vorrei solo capire come comportarmi a livello operativo.
P.s questo è un piccolo sfogo personale, liberi di ignorarlo. Come mai in materie come la matematica i libri tralasciano sempre la descrizione di come si risolvano effettivamente gli esercizi? La teoria è fondamentale, senza dubbio, ma non si vive di sola teoria e, come si suol dire, la pratica rompe la grammatica. Perchè ogni singolo libro di analisi che ho avuto sotto mano spende migliaia di parole, formule, dimostrazioni, salvo poi non spiegare i passaggi da seguire per risolvere un esercizio? Alla fine della fiera un esame di analisi richiede per l'80% di saper risolvere esercizi quindi perchè non spendere più tempo nello spiegare come ca***o si risolvano??
Allora, l'esercizio è il seguente:
Determinare gli estremi globali della funzione f(x,y)= $ x^2-xy $ nel dominio $ A=x/2<=y<=2x-x^2 $ .
Per svolgere questo esercizio ho usato il metodo delle 3 categorie, iniziamo dal grafico del dominio, purtroppo dal mio pc non riesco ad usare la funzione "aggiungi grafico" quindi mi limiterò a darne una descrizione.
L'insieme di definizione è dato dalla parte superiore alla retta y=2x e dalla parte inferiore alla parabola rivolta verso il basso, con vertice in (1,1), y=2x-x^2.
1) Le derivate parziali sono:
$ f_x=2x-y $
$ f_y=-x $
che si annullano in (0,0). $ P_1=(0;0) $ è quindi il mio rimo punto candidato per essere massimo o minimo assoluto.
2)Non ci sono punti dove le derivate non esistono
3) Le curve che delimitano la mia frontiera sono:
$ gamma_1=(y=x/2) $
$ gamma_2=(y=2x-x^2) $
La prametrizzazione di $ gamma_1 $ è:
$ { ( x=t ),( y=t/2 ):} $
La parametrizzazione di $ gamma_2 $ è:
$ { ( x=t ),( y=-t^2+2t ):} $
Da $ gamma_1 $ ottengo F(t)= $ t^2/2 $
Da $gamma_2 $ ottengo F(t)= $ t^3-t^2 $
A questo punto non so più come continuare. Come faccio a capire dove varia t? In generale, dopo che so come varia t che procedimenti devo seguire? Non voglio la soluzione dell'esercizio, vorrei solo capire come comportarmi a livello operativo.
P.s questo è un piccolo sfogo personale, liberi di ignorarlo. Come mai in materie come la matematica i libri tralasciano sempre la descrizione di come si risolvano effettivamente gli esercizi? La teoria è fondamentale, senza dubbio, ma non si vive di sola teoria e, come si suol dire, la pratica rompe la grammatica. Perchè ogni singolo libro di analisi che ho avuto sotto mano spende migliaia di parole, formule, dimostrazioni, salvo poi non spiegare i passaggi da seguire per risolvere un esercizio? Alla fine della fiera un esame di analisi richiede per l'80% di saper risolvere esercizi quindi perchè non spendere più tempo nello spiegare come ca***o si risolvano??
Risposte
"Beppu95":
l'esercizio è il seguente:
Determinare gli estremi globali della funzione f(x,y)= $ x^2-xy $ nel dominio $ A=x/2<=y<=2x-x^2 $ .
Per svolgere questo esercizio ho usato il metodo delle 3 categorie, iniziamo dal grafico del dominio, purtroppo dal mio pc non riesco ad usare la funzione "aggiungi grafico" quindi mi limiterò a darne una descrizione.
L'insieme di definizione è dato dalla parte superiore alla retta y=2x e dalla parte inferiore alla parabola rivolta verso il basso, con vertice in (1,1), y=2x-x^2.
1) Le derivate parziali sono:
$ f_x=2x-y $
$ f_y=-x $
che si annullano in (0,0). $ P_1=(0;0) $ è quindi il mio rimo punto candidato per essere massimo o minimo assoluto.
2)Non ci sono punti dove le derivate non esistono
3) Le curve che delimitano la mia frontiera sono:
$ gamma_1=(y=x/2) $
$ gamma_2=(y=2x-x^2) $
La prametrizzazione di $ gamma_1 $ è:
$ { ( x=t ),( y=t/2 ):} $
La parametrizzazione di $ gamma_2 $ è:
$ { ( x=t ),( y=-t^2+2t ):} $
Da $ gamma_1 $ ottengo F(t)= $ t^2/2 $
Da $gamma_2 $ ottengo F(t)= $ t^3-t^2 $
A questo punto non so più come continuare. Come faccio a capire dove varia t? In generale, dopo che so come varia t che procedimenti devo seguire? Non voglio la soluzione dell'esercizio, vorrei solo capire come comportarmi a livello operativo.
Fai un disegno innanzitutto (cosa che credo tu abbia già fatto).
Poi rifletti su chi è $t$ nelle tue “parametrizzazioni”.
Dopodiché, confronta i significati di $t$ con il grafico e capisci da dove a dove varia il parametro.
"Beppu95":
P.s questo è un piccolo sfogo personale, liberi di ignorarlo. Come mai in materie come la matematica i libri tralasciano sempre la descrizione di come si risolvano effettivamente gli esercizi? La teoria è fondamentale, senza dubbio, ma non si vive di sola teoria e, come si suol dire, la pratica rompe la grammatica.
Forse altrove, ma non in Matematica o nelle scienze.
L’esercizio è figlio del discorso teorico e non si svolge in altro modo se non usando con logica (e con un po’ di abilità manuale ed intelligenza) le nozioni di teoria.
"Beppu95":
Perchè ogni singolo libro di analisi che ho avuto sotto mano spende migliaia di parole, formule, dimostrazioni, salvo poi non spiegare i passaggi da seguire per risolvere un esercizio? Alla fine della fiera un esame di analisi richiede per l'80% di saper risolvere esercizi quindi perchè non spendere più tempo nello spiegare come ca***o si risolvano??
Lo fanno. Solo che lo studente medio non se ne accorge, perché (come dici tu) pensa che “alla fine della fiera, la pratica rompe la grammatica”.
Prendiamo ad esempio lo studio degli estremanti in un insieme. Si tratta di mettere assieme qualche nozione di teoria (non più di quattro teoremi) ed usualmente per svolgere l’esercizio basta conoscere tecniche di calcolo letterale apprese al biennio delle scuole, conoscere un po’ di Geometria Analitica elementare (biennio e terzo anno delle scuole) ed un po’ di Analisi I.
Un po’ più complesso è il caso dell’analisi con l’hessiano nullo, ma ormai lo fanno in pochi.
Gli esercizi difficili di Analisi II non sono certo questi (a meno che il docente non li complichi “ad hoc”): un esercizio decente sulle equazioni differenziali è peggio (e lì davvero non ci sono libri che spieghino come fare...).
Inoltre, impara che il livello universitario non è quello delle scuole: non c’è “spiegare come si risolvono”, ma “capire come si risolvono” ed il capire è obbligo dello studente.
Ciao intanto grazie per la risposta, tralascio la parte che non riguarda l'esercizio , per non andare fuori tema e per non iniziare inutili discussioni che non porterebbero a nulla di buono.
Domanda a brucia pelo, ma il mio parametro t cosa rappresenta?? L'asse delle ordinate? L'asse delle ascisse? Nessuna delle due?
Non riesco proprio a farmi una idea di cosa sia t. Cerco di fare un esempio, se dico "cane" nella mia mente si forma l'immagine di un cane, così se dico elefante o bicchiere. Ma quando si arriva a parlare di parametrizzazione per me t è una semplice lettera dell'alfabeto. Potrei avere più delucidazioni a riguardo?
Domanda a brucia pelo, ma il mio parametro t cosa rappresenta?? L'asse delle ordinate? L'asse delle ascisse? Nessuna delle due?
Non riesco proprio a farmi una idea di cosa sia t. Cerco di fare un esempio, se dico "cane" nella mia mente si forma l'immagine di un cane, così se dico elefante o bicchiere. Ma quando si arriva a parlare di parametrizzazione per me t è una semplice lettera dell'alfabeto. Potrei avere più delucidazioni a riguardo?
L’asse (delle ascisse o delle ordinate non importa) è una retta.
Un parametro è una variabile che prende valori numerici.
Può mai $t$ rappresentare un asse?
Ad ogni buon conto, il problema sembra essere che non sai leggere le formule che scrivi e che non riesci a capire il loro senso collegato a semplici questioni grafiche.
Che questo sia legato ad anni di studio della Matematica (e.g., alle superiori) improntato alla “pratica che distrugge la grammatica”?
Sta a te riflettere su queste cose, sull’eventualità di cambiare il tuo approccio allo studio e di rivedere il tuo modo di rapportarti alla disciplina.
Va da sé che non sono cose che si recuperano 15 giorni prima di un esame... Come dico sempre ai miei studenti, ci vogliono almeno un paio d’anni di studio fatto bene per colmare cinque anni di superiori fatti maluccio (cioè al grido di: “devo fare così perché così si fa”). Ma qui si divaga.
Come detto, hai scritto cos’è $t$ nella prima equazione di entrambe le parametrizzazioni.
Prendiamo ad esempio la prima:
\[
\gamma_1: \begin{cases}
x = t \\ y = \frac{1}{2}\ t
\end{cases}\; .
\]
Qui stai dicendo che il parametro $t$ descrive esattamente tutte le ascisse dei punti sulla tua curva (questo è il significato della prima uguaglianza); ciò implica che per conoscere l’intervallo in cui varia il parametro ti basta guardare le ascisse dei punti del tratto di bordo corrispondente a $gamma_1$: da dove a dove variano?
Sfrutta innanzitutto la rappresentazione grafica per fare qualche deduzione.
Poi, ovviamente, ti servirà fare qualche calcolo: fallo.
Puoi fare lo stesso con $gamma_2$?
Come?
P.S.: Per quanto riguarda il “cane”... [ot]Se ci pensi, quello che hai scritto non è vero o, comunque, è vero solo in parte, precisamente nella parte “più ingenua” (che fa sempre il paio con la “pratica”).
Quando dici “cane”, non è vero che nella tua mente si forma l’immagine di un cane. Piuttosto, si formano tante immagini di tanti cani (quelli che hai visto nella tua vita) e non solo: si formano collegamenti con altre nozioni che hai (quadrupede, mammifero, pelo, caldo, abbaiare, scodinzolare, etc...) ed è questa rete di collegamenti che ti consente di trovare veramente il senso della parola “cane” genericamente intesa, i.e. di astrarre il concetto di “cane” dai vari casi particolari che tu conosci, in modo da renderti possibile di creare un “cane” particolare (che non hai mai visto nella tua vita) usando la fantasia.
La stessa cosa vale con i concetti matematici, che sono tanto astratti quanto il concetto generale di “cane”, il cui significato va ricostruito a seconda delle connessioni che, durante i tuoi studi, sei riuscito a stabilire tra i vari aspetti del concetto matematico (formale, grafico, intuitivo, etc...) e delle relazioni che sei riuscito a stabilire di tale concetto con gli altri concetti.
Stai studiando Analisi, ed è proprio questo aspetto del tuo approccio allo studio che dovresti migliorare.[/ot]
Un parametro è una variabile che prende valori numerici.
Può mai $t$ rappresentare un asse?
Ad ogni buon conto, il problema sembra essere che non sai leggere le formule che scrivi e che non riesci a capire il loro senso collegato a semplici questioni grafiche.
Che questo sia legato ad anni di studio della Matematica (e.g., alle superiori) improntato alla “pratica che distrugge la grammatica”?
Sta a te riflettere su queste cose, sull’eventualità di cambiare il tuo approccio allo studio e di rivedere il tuo modo di rapportarti alla disciplina.
Va da sé che non sono cose che si recuperano 15 giorni prima di un esame... Come dico sempre ai miei studenti, ci vogliono almeno un paio d’anni di studio fatto bene per colmare cinque anni di superiori fatti maluccio (cioè al grido di: “devo fare così perché così si fa”). Ma qui si divaga.
Come detto, hai scritto cos’è $t$ nella prima equazione di entrambe le parametrizzazioni.
Prendiamo ad esempio la prima:
\[
\gamma_1: \begin{cases}
x = t \\ y = \frac{1}{2}\ t
\end{cases}\; .
\]
Qui stai dicendo che il parametro $t$ descrive esattamente tutte le ascisse dei punti sulla tua curva (questo è il significato della prima uguaglianza); ciò implica che per conoscere l’intervallo in cui varia il parametro ti basta guardare le ascisse dei punti del tratto di bordo corrispondente a $gamma_1$: da dove a dove variano?
Sfrutta innanzitutto la rappresentazione grafica per fare qualche deduzione.
Poi, ovviamente, ti servirà fare qualche calcolo: fallo.
Puoi fare lo stesso con $gamma_2$?
Come?
P.S.: Per quanto riguarda il “cane”... [ot]Se ci pensi, quello che hai scritto non è vero o, comunque, è vero solo in parte, precisamente nella parte “più ingenua” (che fa sempre il paio con la “pratica”).
Quando dici “cane”, non è vero che nella tua mente si forma l’immagine di un cane. Piuttosto, si formano tante immagini di tanti cani (quelli che hai visto nella tua vita) e non solo: si formano collegamenti con altre nozioni che hai (quadrupede, mammifero, pelo, caldo, abbaiare, scodinzolare, etc...) ed è questa rete di collegamenti che ti consente di trovare veramente il senso della parola “cane” genericamente intesa, i.e. di astrarre il concetto di “cane” dai vari casi particolari che tu conosci, in modo da renderti possibile di creare un “cane” particolare (che non hai mai visto nella tua vita) usando la fantasia.
La stessa cosa vale con i concetti matematici, che sono tanto astratti quanto il concetto generale di “cane”, il cui significato va ricostruito a seconda delle connessioni che, durante i tuoi studi, sei riuscito a stabilire tra i vari aspetti del concetto matematico (formale, grafico, intuitivo, etc...) e delle relazioni che sei riuscito a stabilire di tale concetto con gli altri concetti.
Stai studiando Analisi, ed è proprio questo aspetto del tuo approccio allo studio che dovresti migliorare.
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