Esercizio sui limiti su uno spazio misurato

[mklplo751]

Premetto,che non sapevo se la sezione giusta fosse questa,nel caso abbia sbagliato mi scuso.
Salve,io ho provato a risolvere un problema,che veniva posto nel libro.Sono arrivato a un risultato ma non sono sicuro che sia corretto.Se non vi spiace potreste controllare il mio tentativo di risoluzione?
Il problema era questo:
"Preso $X$ uno spazio misurato,con misura finita $mu(X)$.Preso $finL(mu)^1$.Calcola il seguente limite:
\( lim_{n\rightarrow \infty}\int_X|f(x)|^{\frac{1}{n} }d\mu(x) \)
Io ho provato in due modi diversi,i metodi erano questi:
1) \( lim_{n\rightarrow \infty}\int_X|f(x)|^{\frac{1}{n} }d\mu(x)=\int_Xlim_{n\rightarrow \infty}|f(x)|^{\frac{1}{n} }d\mu(x) \) $=x$
2) \( lim_{n\rightarrow \infty}\int_X|f(x)|^{\frac{1}{n} }d\mu(x)=lim_{n\rightarrow\infty}(sup_{x\in X}|f(x)|^{\frac{1}{n} })=sup_{x\in X}|1|=1 \)

[killing_buddha]

Nulla di ciò che hai scritto ha nessun senso: in generale non puoi far entrare un limite dentro un integrale, quanto sia l'integrale di una costante dipende da chi è $\mu$, per nessun motivo al mondo l'integrale di \(|f|^{1/n}\) è uguale alla sup norma \( \|f\|_\infty \) (anche questa è una condizione che dipende da $\mu$), eccetera eccetera. Puoi al massimo stimare la convergenza di \(\int_X |f|^{1/n} d\mu\) in termini della convergenza di \(|f|\) (che ti è garantita dalla ipotesi \(f\in L^1_\mu\)).

[mklplo751]

Grazie,penso di aver frainteso qualche teorema e di aver perciò commesso degli errori,ma allora come risolvo l'esercizio?

[killing_buddha]

Usa qualcosa del genere https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... a_dominata o https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... a_monotona

Le successioni \( n\mapsto |f|^{1/n}\) soddisfano le ipotesi di uno (entrambi?) questi teoremi?

[mklplo751]

penso di sì