Esercizio sui Limiti, risoluzione tecnica dei Limiti Notevoli
Salve ragazzi, sapete dirmi come svolgere questo limite:
$ lim_(x -> -3+) [e^(x+3)-1]/[root()(x+4)-sen(x+3)+log(x+4)-1] $
(x che tende a -3 da destra)
Questo il mio svolgimento con la tecnica dei limiti notevoli... arrivo al risultato 2, però effetuando la verifica online esce 0
Ho sostituito i vari pezzettini con un x=t-3 cosi che quando x tende a -3, t tende a zero, nuova variabile del limite:
$ lim_(t -> 0) [[e^t-1]/t]t=t $
$ lim_(t -> 0) [((t+1)^(1/2)-1)/t]t=t/2 $
$ lim_(t -> 0) - [(sen(t))/t]t=-t $
$ lim_(t -> 0) [log(t+1)/t]t=t $
Il -1, presente dopo il logaritmo, nel limite di partenza, l'ho utilizzato per il limite notevole della radice (senza aggiungere e sottrarre 1) per completarlo.
Il limite finale che mi si presenta è il seguente:
con dovute semplificazioni si arriva a 2
$ lim_(t -> 0) t/(t/2-t+t)=2 $
Dove sta l'errore?
[size=150]EDIT: Al denominatore, nella parentesi del seno, c'e (x+3) non (x-3). L'ho corretto nella traccia di partenza[/size]
$ lim_(x -> -3+) [e^(x+3)-1]/[root()(x+4)-sen(x+3)+log(x+4)-1] $
(x che tende a -3 da destra)
Questo il mio svolgimento con la tecnica dei limiti notevoli... arrivo al risultato 2, però effetuando la verifica online esce 0
Ho sostituito i vari pezzettini con un x=t-3 cosi che quando x tende a -3, t tende a zero, nuova variabile del limite:
$ lim_(t -> 0) [[e^t-1]/t]t=t $
$ lim_(t -> 0) [((t+1)^(1/2)-1)/t]t=t/2 $
$ lim_(t -> 0) - [(sen(t))/t]t=-t $
$ lim_(t -> 0) [log(t+1)/t]t=t $
Il -1, presente dopo il logaritmo, nel limite di partenza, l'ho utilizzato per il limite notevole della radice (senza aggiungere e sottrarre 1) per completarlo.
Il limite finale che mi si presenta è il seguente:
con dovute semplificazioni si arriva a 2
$ lim_(t -> 0) t/(t/2-t+t)=2 $
Dove sta l'errore?
[size=150]EDIT: Al denominatore, nella parentesi del seno, c'e (x+3) non (x-3). L'ho corretto nella traccia di partenza[/size]
Risposte
i limiti notevoli (e di conseguenza le relazioni di asontoticità) non funzionano bene con somme e differenze. puoi risolvere il limite con gli sviluppi di taylor però.
Il denominatore tende a $sen(-6)$ mentre la radice viene compensata dal $-1$ e il logaritmo tende a $0$ da sè;
Suppongo che ci sia un errore dato che alla fine sarebbe un esercizio poco interessante: se al denominatore compare un $sen(x+3)$ la cosa è già piu interessante essendo almeno una forma indeterminata(ma con la regola di De L'Hopital risulta abbastanza immediato)
Suppongo che ci sia un errore dato che alla fine sarebbe un esercizio poco interessante: se al denominatore compare un $sen(x+3)$ la cosa è già piu interessante essendo almeno una forma indeterminata(ma con la regola di De L'Hopital risulta abbastanza immediato)
"cooper":
i limiti notevoli (e di conseguenza le relazioni di asontoticità) non funzionano bene con somme e differenze. puoi risolvere il limite con gli sviluppi di taylor però.
Purtroppo sai qual è il problema? Lo svolgimento richiede l'uso dei limiti notevoli... gli sviluppi di taylor non sono riportati dal programma che svolgo... ecco perchè ho scritto già nel titolo lo sfruttamento dei limiti notevoli...
Il bello è che svolgendone altri con la medesi tecnica non ho trovato problemi... Questo invece, controllandone il risultato online non mi trovo... io ho 2, mentre dovrebbe venire uno 0.
Ma infatti, se notate, alla fine dei conti, è proprio l'esercizio che ti porta a sfruttare i limiti notevoli, e quindi perchè non utilizzarli?!
(al di la che ora il risultato non viene, un po' come la tecnica di de l'hopital che a parer mio confonde invece di risolvere)
"daniele4610":
Purtroppo sai qual è il problema? Lo svolgimento richiede l'uso dei limiti notevoli... gli sviluppi di taylor non sono riportati dal programma che svolgo... ecco perchè ho scritto già nel titolo lo sfruttamento dei limiti notevoli...
in tal caso l'unico limite notevole che puoi di fatto applicare è quello del numeratore dove non ci sono somme/differenze. il numeratore è asintotico a x+3 mentre il numeratore (senza nessun limite solo sostituendo il -3) vale sin(-6), come già fatto notare. rapporto tra i due è nullo.
Grazie mille ! Provo con questa strada che mi dici ! 
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