Esercizio sui Limiti, risoluzione tecnica dei Limiti Notevoli
$ lim_(x -> 7) log(x+6)/(e^(x-7)-root(7)(x-6) $
Salve ragazzi, mi presento con questo limiti che mi sta facendo saltare un po' i tervi.
Premetto che vorrei risolverlo soltanto la tecnica dei limiti notevoli. In pratica inserendo l'espressione su Wolframalpha mi da come risultato 7/6, mentre io non riesco proprio ad arrivarci
Allora ho svolto in questo modo:
- ho preso il limite e l'ho diviso in due parti, limite del numeratore, fratto limite del denominatore;
- ho analizzato pezzo per pezzo ogni limite... e cioè
$ lim_(x -> 7) log(x+6) $
ho attuato la sostituzione della variabile, ottenendo un x-7=t; (per avere nel logaritmo (1+t)) e quando x->7 : t->0; ho ricavato un
$ lim_(t -> 0) t $
e sostituendo nuovamente ho un (x-7) al numeratore...
Ho continuato con gli altri due pezzettini, ossia il numero "e" e la radice, avendo come risultati:
Per quanto riguarda la e:
$ lim_(t -> 0) 2t $
Risostituendo opportunamente e svolgendo i calcoli, non arrivo in nessuna maniera a quel risultato
Dove sbaglio? Non è valido impiegare i limiti notevoli?
De l'Hopital non lo vorrei proprio applicare, quindi non vorrei la risoluzione con questo metodo. Ma bensi con applicazioni algebriche
Grazie mille a chi mi da una mano !
Salve ragazzi, mi presento con questo limiti che mi sta facendo saltare un po' i tervi.
Premetto che vorrei risolverlo soltanto la tecnica dei limiti notevoli. In pratica inserendo l'espressione su Wolframalpha mi da come risultato 7/6, mentre io non riesco proprio ad arrivarci
Allora ho svolto in questo modo:
- ho preso il limite e l'ho diviso in due parti, limite del numeratore, fratto limite del denominatore;
- ho analizzato pezzo per pezzo ogni limite... e cioè
$ lim_(x -> 7) log(x+6) $
ho attuato la sostituzione della variabile, ottenendo un x-7=t; (per avere nel logaritmo (1+t)) e quando x->7 : t->0; ho ricavato un
$ lim_(t -> 0) t $
e sostituendo nuovamente ho un (x-7) al numeratore...
Ho continuato con gli altri due pezzettini, ossia il numero "e" e la radice, avendo come risultati:
Per quanto riguarda la e:
$ lim_(t -> 0) 2t $
Risostituendo opportunamente e svolgendo i calcoli, non arrivo in nessuna maniera a quel risultato
Dove sbaglio? Non è valido impiegare i limiti notevoli?
De l'Hopital non lo vorrei proprio applicare, quindi non vorrei la risoluzione con questo metodo. Ma bensi con applicazioni algebriche
Grazie mille a chi mi da una mano !
Risposte
$ lim_(x -> 7) log(x+6)/(e^(x-7)-root(7)(x-6) $
Questo è il limite corretto, non riuscivo a postarlo in forma decente all'occhio... scusatemi...
correggo anche i risultati, cosi sono piu chiari
Questo è il limite corretto, non riuscivo a postarlo in forma decente all'occhio... scusatemi...
correggo anche i risultati, cosi sono piu chiari
Sei sicuro che non sia $\lim_{x \to 7} log(x-6)/(e^(x-7) - (x-6)^(1/7))$ ??
Perchè questo limite tende effettivamente(e te lo dimostro) a $7/6$, mentre quello che hai scritto tu va a $\pm \infty$
Allora, sia $x = t + 7$
Quindi $t \to 0$
$\lim_{t \to 0} log(1+t)/(e^t - (1+t)^(1/7))$
Uso i limiti notevoli del logaritmo e dell'esponenziale
$\lim_{t \to 0} t/(t+1-(1+t)^(1/7))$
Adesso ho due strade:
Uso la regola di De l'Hopital
oppure uso lo sviluppo di Taylor-McLaurin al primo ordine della funzione radice
Inizio con Taylor:
Lo sviluppo al primo ordine in $x_{0} = 0$ di una funzione f(x) è
$f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x)$
Quindi calcolo la derivata $[(1+t)^(1/7)]' = 1/7 (1+t)^(1/7-1)$
Calcolo lo sviluppo arrestato al primo ordine
$(1+t)^(1/7) = (1+0)^(1/7) + 1/7 (1+0)^(1/7 -1)t + o(t) = 1+t/7 + o(t)$
Il limite diventa
$\lim_{t \to 0} t/(t+1-1 - t/7 - o(t))= t/(6/7 t)= 7/6$
Con de l'Hopital
Derivo a numeratore e denominatore
$\lim_{t \to 0} t/(t+1-(1+t)^(1/7))=\lim_{t \to 0} 1/(1-1/7 (1+t)^(1/7-1))=1/(1-1/7) = 7/6$
Puoi applicare i limiti notevoli solo se nella tavola che usi c'è il limite notevole
$\lim_{x \to 0} ((1+x)^a - 1)/x = a$
Basta sostituire e ottieni il risultato..
Quel limite notevole si dovrebbe poter dimostrare(oltre che con lo sviluppo di Taylor) con la disuguaglianza di Bernoulli o con i binomiali..
Perchè questo limite tende effettivamente(e te lo dimostro) a $7/6$, mentre quello che hai scritto tu va a $\pm \infty$
Allora, sia $x = t + 7$
Quindi $t \to 0$
$\lim_{t \to 0} log(1+t)/(e^t - (1+t)^(1/7))$
Uso i limiti notevoli del logaritmo e dell'esponenziale
$\lim_{t \to 0} t/(t+1-(1+t)^(1/7))$
Adesso ho due strade:
Uso la regola di De l'Hopital
oppure uso lo sviluppo di Taylor-McLaurin al primo ordine della funzione radice
Inizio con Taylor:
Lo sviluppo al primo ordine in $x_{0} = 0$ di una funzione f(x) è
$f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x)$
Quindi calcolo la derivata $[(1+t)^(1/7)]' = 1/7 (1+t)^(1/7-1)$
Calcolo lo sviluppo arrestato al primo ordine
$(1+t)^(1/7) = (1+0)^(1/7) + 1/7 (1+0)^(1/7 -1)t + o(t) = 1+t/7 + o(t)$
Il limite diventa
$\lim_{t \to 0} t/(t+1-1 - t/7 - o(t))= t/(6/7 t)= 7/6$
Con de l'Hopital
Derivo a numeratore e denominatore
$\lim_{t \to 0} t/(t+1-(1+t)^(1/7))=\lim_{t \to 0} 1/(1-1/7 (1+t)^(1/7-1))=1/(1-1/7) = 7/6$
Puoi applicare i limiti notevoli solo se nella tavola che usi c'è il limite notevole
$\lim_{x \to 0} ((1+x)^a - 1)/x = a$
Basta sostituire e ottieni il risultato..
Quel limite notevole si dovrebbe poter dimostrare(oltre che con lo sviluppo di Taylor) con la disuguaglianza di Bernoulli o con i binomiali..
Propongo anche una soluzione più algebrica, che usa solo i limiti notevoli
Eravamo arrivati a
$\lim_{t \to 0} log(1+t)/(e^t - (1+t)^(1/7))$
Usiamo i seguenti limiti notevoli:
$\lim_{t \to 0} log(1+t)/t = 1$
$\lim_{t \to 0} (e^t -1)/t = 1 $
$\lim_{t \to 0} ((1+t)^a -1)/t = a$
Riscriviamo il limite in questo modo:
$\lim_{t \to 0} log(1+t)/(e^t -1 - [(1+t)^(1/7)-1])$
Adesso dividiamo numeratore e denominatore per t
$\lim_{t \to 0} (log(1+t)/t)/((e^t -1)/t - [(1+t)^(1/7)-1]/t)$
Otteniamo(grazie ai limiti notevoli precedentemente elencati)
$\lim_{t \to 0} (log(1+t)/t)/((e^t -1)/t - [(1+t)^(1/7)-1]/t)= 1/(1-1/7) = 7/6$
Eravamo arrivati a
$\lim_{t \to 0} log(1+t)/(e^t - (1+t)^(1/7))$
Usiamo i seguenti limiti notevoli:
$\lim_{t \to 0} log(1+t)/t = 1$
$\lim_{t \to 0} (e^t -1)/t = 1 $
$\lim_{t \to 0} ((1+t)^a -1)/t = a$
Riscriviamo il limite in questo modo:
$\lim_{t \to 0} log(1+t)/(e^t -1 - [(1+t)^(1/7)-1])$
Adesso dividiamo numeratore e denominatore per t
$\lim_{t \to 0} (log(1+t)/t)/((e^t -1)/t - [(1+t)^(1/7)-1]/t)$
Otteniamo(grazie ai limiti notevoli precedentemente elencati)
$\lim_{t \to 0} (log(1+t)/t)/((e^t -1)/t - [(1+t)^(1/7)-1]/t)= 1/(1-1/7) = 7/6$
Ruben risolvo un attimo su cartaceo, e ti dico se trovo differenze o cmq l'errore che commetto...
Grazie per le varie soluzioni !
Grazie per le varie soluzioni !
Ok Ruben arrivato anche con questi passaggi algebrici! Grazie mille...
Quando lo svolgevo, e giacchè ti faccio presente l'errore che vorrei correggere, praticamente ho fatto
(prendiamo in cosiderazione)
$ lim_(t -> 0) (1+t)^(1/7) $
ossia il secondo argomento del denominatore...
Per ricondurro al limite notevole, anche da te riportato... dovrei aggiungere e sottrare 1, e moltiplicare e dividere per t:
$ lim_(t -> 0) (1+t)^(1/7)-1+1 $
$ lim_(t -> 0) t[([(1+t)^(1/7)]-1)/t]+1 $
ecco qua: quindi quel limite mi tende a 1/7 quando t tende a 0, e non rimane t/7+1?
e quindi sostituendo tutti i pezzettini mi ritrovo:
$ lim_(t -> 0) (t)/(t+1-t/7+1 $
dove sta l'errore?!
Quando lo svolgevo, e giacchè ti faccio presente l'errore che vorrei correggere, praticamente ho fatto
(prendiamo in cosiderazione)
$ lim_(t -> 0) (1+t)^(1/7) $
ossia il secondo argomento del denominatore...
Per ricondurro al limite notevole, anche da te riportato... dovrei aggiungere e sottrare 1, e moltiplicare e dividere per t:
$ lim_(t -> 0) (1+t)^(1/7)-1+1 $
$ lim_(t -> 0) t[([(1+t)^(1/7)]-1)/t]+1 $
ecco qua: quindi quel limite mi tende a 1/7 quando t tende a 0, e non rimane t/7+1?
e quindi sostituendo tutti i pezzettini mi ritrovo:
$ lim_(t -> 0) (t)/(t+1-t/7+1 $
dove sta l'errore?!
Occhio ai segni..
Controlla dalla mia soluzione
Controlla dalla mia soluzione
Questione di segni, dicevi bene... al denominatore è (t+1-(t/7)-1) e non +1
Tutte con operatore LIMITE davanti... lo ometto per rapidità, ma è t che tende a 0
Passo1:
$ t/(t+1-(1/7t)-1) $
Passo2:
$ t/[(7t+7-t-7)/7] $
Passo3:
$ t/([6t)/7] $
Passo4
$ t*7/(6t) $
Risultato
$ 7/(6) $
Tutte con operatore LIMITE davanti... lo ometto per rapidità, ma è t che tende a 0
Passo1:
$ t/(t+1-(1/7t)-1) $
Passo2:
$ t/[(7t+7-t-7)/7] $
Passo3:
$ t/([6t)/7] $
Passo4
$ t*7/(6t) $
Risultato
$ 7/(6) $
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