Esercizio sui limiti

[Neptune2]

Salve a tutti,
stavo eseguendo degli esercizi di revisione datomi dalla prossoressa, dove mi si chiede inanzi tutto di trovare dominio e successivamente dati dei punti mi si chiede di stabilire se sono di accumulazione per calcolarne successivamente il limite destro e/o sinistro.

la funzione in questione è $f(x) = (e^x + logx)/(1-x)^2$

Per quel che riguarda il dominio dobbiamo avere $x>0$ per via del logaritmo ed il dneominatore della funzione anche maggiore di $0$.

Svolgendo $(1-x)^2 > 0$ ho che il denominatore si annulla solo per $x = 1$ quindi per il dominio devo tenere in considerazione:

$\{(x>0),(x<1 vvv x>1):}$

Quindi il dominio della funzione sarà $(1,+oo)$

Devo vedere adesso se i punti $x_0 = 0$; $x_0 = 1$; $x_0 = -1$ sono punti di accumulazione.

Posso dire a priori che $0$ e $-1$ non sono punti di accumulazione perchè non appartengono all'intervallo chiuso $[1,+00]$ ? mentre l'unico interno a quell'intervallo è proprio $1$.

Quindi a questo punto non mi resta che calcolare il limite destro e sinistro per $x$ che tende a $1$? e se esistono entrambi posso dire che questa funzione ammette limite?

Ammesso che i passi fino ad ora non contengono errori, se mi voglio calcolare il limite per $x$ che tende a $1$ da destra di $(e^x + logx)/(1-x)^2$
possiamo dire che:

il denominatore, proprio per $1$ tende a $0$, in questo caso a $0$ da destra;
nel numeratore il logaritmo per $x$ che tende a $1$ tende a $0$ sommato ad $e^x$ che tende ad $e$ abbiamo che il numeratore tende ad $e$;

Abbiamo quindi limitato su $0+$ e quindi il limite destro tende a $+oo$

Il limite per $x$ che tende ad $1$ da sinistra sarà sempre un limitato su $0$, ma questa volta tanderà a $0$ da sinistra e quindi il limite sarà $-oo$

Avendo trovato limite destro diverso dal limite sinistro possiamo dire che la funzione non ammette limite per $x$ che tende ad $1$?

Spero di non aver fatto troppa confusione.

[Camillo]

Dominio $ x>0, x ne 1 $ quindi $(0,1)U(1,+oo)$.