Esercizio sui limiti
Non riesco a risolvere il seguente esercizio, mi potete dare una mano?
$ lim_(x -> -oo) (1 + 1/(log|x|) )^x $
Quello che ho fatto è stato moltiplicare e dividere l'esponente per $ log|x| $ così da ottenere:
$ lim_(x -> -oo) [(1 + 1/(log|x| ) )^(log|x| ) ] ^ (x/(log|x|)) $
Ora, la parte tra le parentesi quadre posso ricondurla al limite notevole e so quindi che tende ad $ e $.
Ho però problemi a calcolare $ lim_(x -> -oo) (x/(log|x|)) $. Come mi devo comportare con quel valore assoluto? Aiutatemi pls
$ lim_(x -> -oo) (1 + 1/(log|x|) )^x $
Quello che ho fatto è stato moltiplicare e dividere l'esponente per $ log|x| $ così da ottenere:
$ lim_(x -> -oo) [(1 + 1/(log|x| ) )^(log|x| ) ] ^ (x/(log|x|)) $
Ora, la parte tra le parentesi quadre posso ricondurla al limite notevole e so quindi che tende ad $ e $.
Ho però problemi a calcolare $ lim_(x -> -oo) (x/(log|x|)) $. Come mi devo comportare con quel valore assoluto? Aiutatemi pls
Risposte
scusa ma il problema è solo il valore assoluto? 
se x tende a meno infinito, a cosa tenderà il suo valore assoluto? direi a più infinito, senza troppi problemi..
se x tende a meno infinito, a cosa tenderà il suo valore assoluto? direi a più infinito, senza troppi problemi..
Quindi come risolveresti l'ultimo limite? Viene una forma indeterminata del tipo $ (+oo) / -oo $ in quanto per x che tende a meno infinito il numeratore tende a $ -oo $ e il denominatore a $ log (+oo) = +oo $ . C'è qualcosa che non va, il risultato finale dovrebbe essere 0, quindi quest'ultimo limite dovrebbe essere uguale a $ - oo $ affinchè $ e^-oo $ mi dia 0.
non fasciarti la testa, cerca di calcolare il limite un qualche modo, poi trai le conclusioni:
conosci il teorema di De L'Hopital o la gerarchia di infiniti?
conosci il teorema di De L'Hopital o la gerarchia di infiniti?
De L'hopital non posso utilizzarlo purtroppo. Per quanto riguarda la gerarchia di infiniti so che la potenza "batte" il logaritmo per x che tende a $ +oo $. Non riesco a capire come fare
cosa vuol dire la potenza? 
è proprio quello che ti serve!
infatti se proprio vuoi vederlo come una potenza, $x=x^1$
quindi quanto viene questo limite?
è proprio quello che ti serve!
infatti se proprio vuoi vederlo come una potenza, $x=x^1$
quindi quanto viene questo limite?
Ok, quindi $ -oo $. Ma anche se numeratore tende a -oo e denominatore a +oo? Cioè, quando posso utilizzare la gerarchia degli infiniti?
Io penso sia più rapido il confronto tra gli infinitesimi.
Questo è l'ordine di crescita per [tex]x-->+\infty[/tex]
[tex]log(x), x^a, a^x, x!, x^x[/tex]
Da sinistra a destra le varie "funzioni" crescono sempre più velocemente, cioè a destra troverai una funzione che raggiunge [tex]+\infty[/tex] prima delle precedenti.
Quindi se consideri:
[tex]\frac{x}{log|x|}[/tex]
Il numeratore cresce più velocemente rispetto al denominatore, cioè arriva prima a [tex]-\infty[/tex] in questo caso rispetto al denominatore che ancora sta crescendo, quindi dovrebbe essere immediato...
P.S. La gerarchia la puoi considerare quando hai il rapporto tra infiniti, cioè quando trovi il rapporto di due tra quelli che ti ho elencato.
Questo è l'ordine di crescita per [tex]x-->+\infty[/tex]
[tex]log(x), x^a, a^x, x!, x^x[/tex]
Da sinistra a destra le varie "funzioni" crescono sempre più velocemente, cioè a destra troverai una funzione che raggiunge [tex]+\infty[/tex] prima delle precedenti.
Quindi se consideri:
[tex]\frac{x}{log|x|}[/tex]
Il numeratore cresce più velocemente rispetto al denominatore, cioè arriva prima a [tex]-\infty[/tex] in questo caso rispetto al denominatore che ancora sta crescendo, quindi dovrebbe essere immediato...
P.S. La gerarchia la puoi considerare quando hai il rapporto tra infiniti, cioè quando trovi il rapporto di due tra quelli che ti ho elencato.
Ok, penso di aver capito anche se devo ancora metabolizzare per bene questi concetti, perchè temo che avrò ancora di questi problemi su tale argomento.
Comunque sia vi ringrazio entrambi per aver dedicato tutto questo tempo a un testone come me.
Comunque sia vi ringrazio entrambi per aver dedicato tutto questo tempo a un testone come me.
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