Esercizio sui limiti
ciao a tutti...ho bisogno di un aiuto...per favore...
allora io ho un limite da calcolare e di cui devo eseguire la verifica applicandone la relativa definizione...ora il limite è:
$\lim_{n \to \infty}(3*x^2-x+5)/(4*x^2-1)$
risolvendolo con le tecniche varie il risultato è $3/4$
e fino a qui tutto bene...ora il problema è nella verifica...questa è la definizione per cui
$|f(x)-3/4|<\epsilon$
dove $\epsilon$ è un numero piccolissimo >0 a piacere
se io applico la formula viene fuori una cosa a cui non so trovare soluzione...
io ho fatto:
$|(3*x^2-x+5)/(4*x^2-1)-3/4|<\epsilon$
per semplificare risolvo internamente il valore assoluto
$|(12*x^2-4*x+20-12*x^2+4)/(16*x^2-4)|<\epsilon
$|(4*(-x+6))/(4(4*x^2-1))|<\epsilon$
e rimane
$|(-x+6)/(4*x^2-1)|<\epsilon$
da qui divido le due disequazioni derivanti dal valore assoluto
1° dis
$(-x+6)/(4*x^2-1)<\epsilon$
$(-x+6-4\epsilon*x^2+\epsilon)/(4*x^2-1)<0$
Numeratore: $-4\epsilon*x^2-x+6+\epsilon>0$
denominatore: $4*x^2-1>0$
N: $4\epsilon*x^2+x-6-\epsilon<0$
D: $x<-1/2 vv x>1/2$
il mio problema ora è il numeratore...
N: $x_1_,_2= (-1\pm\sqrt(1-16\epsilon*(-6-\epsilon)))/(8\epsilon)=?$
ora, come faccio?
essendo una fratta poi farò la tabella dei segni...la 2° dis ha procedimento simile solo che sarà $>-\epsilon$ giusto?
per favore...potete aiutarmi...è importante e se non vi chiedo troppo potreste darmi qualche dritta anche sulla seconda
perchè ho l'impressione che mi darebbe lo stesso problema....
grazie in anticipo a tutti...
allora io ho un limite da calcolare e di cui devo eseguire la verifica applicandone la relativa definizione...ora il limite è:
$\lim_{n \to \infty}(3*x^2-x+5)/(4*x^2-1)$
risolvendolo con le tecniche varie il risultato è $3/4$
e fino a qui tutto bene...ora il problema è nella verifica...questa è la definizione per cui
$|f(x)-3/4|<\epsilon$
dove $\epsilon$ è un numero piccolissimo >0 a piacere
se io applico la formula viene fuori una cosa a cui non so trovare soluzione...
io ho fatto:
$|(3*x^2-x+5)/(4*x^2-1)-3/4|<\epsilon$
per semplificare risolvo internamente il valore assoluto
$|(12*x^2-4*x+20-12*x^2+4)/(16*x^2-4)|<\epsilon
$|(4*(-x+6))/(4(4*x^2-1))|<\epsilon$
e rimane
$|(-x+6)/(4*x^2-1)|<\epsilon$
da qui divido le due disequazioni derivanti dal valore assoluto
1° dis
$(-x+6)/(4*x^2-1)<\epsilon$
$(-x+6-4\epsilon*x^2+\epsilon)/(4*x^2-1)<0$
Numeratore: $-4\epsilon*x^2-x+6+\epsilon>0$
denominatore: $4*x^2-1>0$
N: $4\epsilon*x^2+x-6-\epsilon<0$
D: $x<-1/2 vv x>1/2$
il mio problema ora è il numeratore...
N: $x_1_,_2= (-1\pm\sqrt(1-16\epsilon*(-6-\epsilon)))/(8\epsilon)=?$
ora, come faccio?
essendo una fratta poi farò la tabella dei segni...la 2° dis ha procedimento simile solo che sarà $>-\epsilon$ giusto?
per favore...potete aiutarmi...è importante e se non vi chiedo troppo potreste darmi qualche dritta anche sulla seconda
perchè ho l'impressione che mi darebbe lo stesso problema....
grazie in anticipo a tutti...
Risposte
secondo me dovresti lasciare l'espressione in termini di $epsilon$: tieni conto che al numeratore c'è $-1+-sqrt(1+96epsilon+16(epsilon)^2)$ il che ti garantisce che la radice quadrata è > 1 e che quindi le sue soluzioni sono di segno opposto; il denominatore, poi, è multiplo (finito) di $epsilon$ che doveva essere "piccolo a piacere". quindi questo ti basta per inserire le due radici nello schema finale all'esterno dell'intervallo $(-1/2, +1/2)$.
tieni conto che si tratta di un limite per $x->oo$ [infinito (senza segno)], per cui dovrai trovare trovare come risultato un intorno appunto dell'infinito senza segno, cioè un'unione di due semirette...
OK? ciao.
tieni conto che si tratta di un limite per $x->oo$ [infinito (senza segno)], per cui dovrai trovare trovare come risultato un intorno appunto dell'infinito senza segno, cioè un'unione di due semirette...
OK? ciao.
ok...quindi seguendo il tuo ragionamento...correggimi se sbaglio...
N: $(-1-sqrt(16\epsilon^2+96\epsilon+1))/(8\epsilon)
D: $x<-1/2 vv x>1/2$
A= $(-1-sqrt(16\epsilon^2+96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
B=$(-1+sqrt(16\epsilon^2+96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
con la tabella prendo gli intervalli con segno negativo e viene:
$xB$
poi 2°dis
$(-x+6)/(4*x^2-1)>(-\epsilon)$
$(-x+6+4\epsilon*x^2-\epsilon)/(4*x^2-1)>0$
N: $4\epsilon*x^2-x+6-\epsilon>0$
D: $x<-1/2 vv x>1/2$
N: $x_1_,_2=(1\pm\sqrt(16\epsilon^2-96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
N: C = $x<(1-sqrt(16\epsilon^2-96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
E = $x>(1+sqrt(16\epsilon^2-96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
tabella e prendo gli intervalli positivi ottengo:
$x<-1/2 vv 1/2E
è giusto quello che ho fatto? ora come li trovo gli intorni di infinito?
grazie encora
N: $(-1-sqrt(16\epsilon^2+96\epsilon+1))/(8\epsilon)
D: $x<-1/2 vv x>1/2$
A= $(-1-sqrt(16\epsilon^2+96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
B=$(-1+sqrt(16\epsilon^2+96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
con la tabella prendo gli intervalli con segno negativo e viene:
$xB$
poi 2°dis
$(-x+6)/(4*x^2-1)>(-\epsilon)$
$(-x+6+4\epsilon*x^2-\epsilon)/(4*x^2-1)>0$
N: $4\epsilon*x^2-x+6-\epsilon>0$
D: $x<-1/2 vv x>1/2$
N: $x_1_,_2=(1\pm\sqrt(16\epsilon^2-96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
N: C = $x<(1-sqrt(16\epsilon^2-96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
E = $x>(1+sqrt(16\epsilon^2-96\epsilon+1))/(8\epsilon)$
tabella e prendo gli intervalli positivi ottengo:
$x<-1/2 vv 1/2
è giusto quello che ho fatto? ora come li trovo gli intorni di infinito?
grazie encora
devi fare l'intersezione tra le due soluzioni, scartando eventualmente la parte "centrale" che non ti interessa:
min(A, -1/2)=A
max(B,E)=E?, vedi tu, chiamiamolo M
intorno dell'infinito=$(-oo,A)uu(M,+oo)$, dove M, appunto, è il massimo tra B ed E
è chiaro? ciao.
min(A, -1/2)=A
max(B,E)=E?, vedi tu, chiamiamolo M
intorno dell'infinito=$(-oo,A)uu(M,+oo)$, dove M, appunto, è il massimo tra B ed E
è chiaro? ciao.
uhmm...ma io non dovrei trovare due intorni di infinito in cui uno dei due estremi sia $3/4$ che è la soluzione del limite?
no, 3/4 è il valore del limite. l'hai utilizzato perché con $epsilon$ hai preso un intorno di 3/4. in funzione di $epsilon$, e quindi dell'intorno di 3/4, devi trovare un intorno di "c" (valore a cui tende la x), che però adesso è infinito (senza segno). [il risultato che trovi non ha nulla a che fare con 3/4 (valore del limite)]
intorno dell'infinito, come ti ho scritto in un post precedente, è un'unione di due semirette, una semiretta aperta negativa (-oo, A), intorno destro di -oo, e una semiretta aperta positiva (M,+oo), intorno sinistro di +oo. OK? ciao.
intorno dell'infinito, come ti ho scritto in un post precedente, è un'unione di due semirette, una semiretta aperta negativa (-oo, A), intorno destro di -oo, e una semiretta aperta positiva (M,+oo), intorno sinistro di +oo. OK? ciao.
ahh..quindi usando lo schema con le mie lettere potremmo dire che dovrei prendere si gli intervalli comuni delle due soluzioni, ma tra tutti quelli agli estremi
tendenti perciò all' $oo$ e quindi avrei:
con la tabello le soluzioni comni sono: $xE$
rispeto a quello che ho detto prima, le soluzioni accettabili sono $xE$
per $x
per $x>E$ ho un intorno destro..
ho caapito bene?
tendenti perciò all' $oo$ e quindi avrei:
con la tabello le soluzioni comni sono: $xE$
rispeto a quello che ho detto prima, le soluzioni accettabili sono $xE$
per $x
per $x>E$ ho un intorno destro..
ho caapito bene?
Il significato di limite ti dovrebbe essere chiaro:
Per ogni intorno U del valore del limite (ovvero nel tuo caso un $epsilon>0$ che determina un introno di $3/4$) posso scgliere un intorno V del valore al quale tende $x$ (ovvero per te un intorno di infinito) tale che dall'essere il limite appartenente all'intervallo U sia possibile ricavarne uno per $x$ che sia contenuto in V.
Per ogni intorno U del valore del limite (ovvero nel tuo caso un $epsilon>0$ che determina un introno di $3/4$) posso scgliere un intorno V del valore al quale tende $x$ (ovvero per te un intorno di infinito) tale che dall'essere il limite appartenente all'intervallo U sia possibile ricavarne uno per $x$ che sia contenuto in V.
sugli intorni del risultato, OK.
per quanto riguarda il limite, Lord K si riferisce ovviamente alla "costruzione", come per l'esercizio, ricerca dell'intorno (che lui ha chiamato V).
spero che tu non ti confonda con la "definizione":
$AA " intorno " U(3/4) " " EE " intorno " V(oo) " " | " se " x in V(oo) " allora " f(x) in U(3/4)$
è chiaro? ciao.
per quanto riguarda il limite, Lord K si riferisce ovviamente alla "costruzione", come per l'esercizio, ricerca dell'intorno (che lui ha chiamato V).
spero che tu non ti confonda con la "definizione":
$AA " intorno " U(3/4) " " EE " intorno " V(oo) " " | " se " x in V(oo) " allora " f(x) in U(3/4)$
è chiaro? ciao.
pensavo di aver capito...prima...ora mi avete un pò mandata in confusione...
allora...se io devo verificare il mio limite (devo controllare se il limite esiste giusto?) utilizzo la definizione e ciò che ottengo sono due ipotetici intorni che ho scritto sopra...o no?
quelli sono i risultati della verifica?
poi per quanto riguarda ciò che ha detto Lord K, non capisco a cosa mi possa servire...per quello che dici tu cosa ho trovato io?
per favore aiuto....
allora...se io devo verificare il mio limite (devo controllare se il limite esiste giusto?) utilizzo la definizione e ciò che ottengo sono due ipotetici intorni che ho scritto sopra...o no?
quelli sono i risultati della verifica?
poi per quanto riguarda ciò che ha detto Lord K, non capisco a cosa mi possa servire...per quello che dici tu cosa ho trovato io?
per favore aiuto....
tu sei partito da $|f(x)-3/4|
non servono tutti, ma solo quelli che costituiscono un intorno di infinito: $(-oo,A)uu(E,+oo)$. [fine esercizio]
potevi anche prendere valori diversi: $(-oo, -10000)uu(10000, +oo)$, a patto però che -10000E...
[n.b.: se quest'ultima cosa ti aiuta, considerala, altrimenti, se ti dovesse confondere le idee, fai finta di nulla]
il percorso è chiaro?
ciao.
non servono tutti, ma solo quelli che costituiscono un intorno di infinito: $(-oo,A)uu(E,+oo)$. [fine esercizio]
potevi anche prendere valori diversi: $(-oo, -10000)uu(10000, +oo)$, a patto però che -10000
[n.b.: se quest'ultima cosa ti aiuta, considerala, altrimenti, se ti dovesse confondere le idee, fai finta di nulla]
il percorso è chiaro?
ciao.
spero che quanto ci siamo detti sia sufficiente.
spero di essere stata chiara.
sto per chiudere. non mi farò sentire per qualche giorno. ciao.
spero di essere stata chiara.
sto per chiudere. non mi farò sentire per qualche giorno. ciao.
Grazie mille....mi hai aiutata molto...ora è tutto abbastanza chiaro
Nè ho una serie di esercizi così, ma ora penso di potercela fare...grazie ancora...
ciao
Nè ho una serie di esercizi così, ma ora penso di potercela fare...grazie ancora...
ciao
prego.
ho rinviato la partenza di qualche ora. ti conviene far riferimento alla definizione di limite attraverso gli intorni. però sostanzialmente le categorie sono 4, a seconda che il valore a cui tende la x e /o il valore del limite siano finiti o infiniti. se il limite è finito, vale l'impostazione che hai fatto con $epsilon$, altrimenti dovrebbe essere ancora più semplice: il modulo si usa se il limite è infinito senza segno, ma di solito si specifica se è +oo o -oo .
prova a fare da sola altri esercizi, puoi sempre postare per chiarire qualche dubbio: qualcuno ti risponderà...
ciao.
ho rinviato la partenza di qualche ora. ti conviene far riferimento alla definizione di limite attraverso gli intorni. però sostanzialmente le categorie sono 4, a seconda che il valore a cui tende la x e /o il valore del limite siano finiti o infiniti. se il limite è finito, vale l'impostazione che hai fatto con $epsilon$, altrimenti dovrebbe essere ancora più semplice: il modulo si usa se il limite è infinito senza segno, ma di solito si specifica se è +oo o -oo .
prova a fare da sola altri esercizi, puoi sempre postare per chiarire qualche dubbio: qualcuno ti risponderà...
ciao.
[OT] ciao ada buon viaggio 
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@ dissonance
ciao e grazie!
ciao e grazie!
Grazie infinite adaBTTLS....
buon viaggio....
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