Esercizio sui Limiti

[davide9715]

Esercizio:
Sia $$f: (-a , a)\setminus\{0\} \to \mathbb{R}.$$
i) Provare che se
$$\lim_{x\to 0}f(x) = A,$$ allora
$$\lim_{x\to 0} f(| x|) = A.$$
ii) Rispondere alla seguente giustificando dettagliatamente la risposta: se
$$\lim_{x\to 0} f(| x|) = A.$$
`e vero che
$$\lim_{x\to 0}f(x) = A \quad ?$$
iii) Se $f$ verifica
$$\lim_{x\to 0} (f(x) +\frac{1}{f(x)} ) = 2,$$
dimostrare che
$$\lim_{x\to 0} f(x) =1.$$


Premetto che il punto i) ho provato a risolverlo in questo modo:
$$\forall\epsilon>0 \exists\delta | | |x|<\delta \Longrightarrow |f(x)-A|<\epsilon $$

$$|x|<\epsilon \Longrightarrow -\delta $$1 Caso: x\in(-\delta,0) $$
$$2 Caso: x\in(0,+\delta)$$

$$|f(x)-A|<\epsilon \Longrightarrow f(x)=f(|x|) $$
$$f|x|=f(-x) $$
$$|f(|x|)-A| < \epsilon . $$.
Tuttavia non so se è corretto , quindi se potete correggermi o potete confermare che sia corretto ne sarei molto grato.

Per quanta riguarda il punto iii) , il prof ci ha dato un indizio per poterlo risolvere che è il seguente:

Supponete che
esiste $\delta>0$ tale che per $0<|x|<\delta$
si abbia $f(x)+1/f(x) \ge 2$
Questo fatto si può' facilmente dedurre dalla definizione
di limite facendo variare $\epsilon \to 0.$

Aspetto i vostri consigli , ciao

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda il primo punto, a proposito, la tua dimostrazione è talmente priva di senso da renderne impossibile la correzione, ti faccio solo notare che $f(|x|)$ è una funzione pari, uguale a $f(x)$ se $x gt 0$. Ad ogni modo, se posso darti un consiglio, prima di affrontare questi esercizi, che richiedono una certa abilità nell'argomentare in modo rigoroso e nel formalizzare, dovresti studiare un po' di teoria. Altrimenti, è estremamente difficile darti una mano.