Esercizio sui Limiti

[Clemenza]

Ragazzi sono un tantino arrugginito, ho cercato di risolvere questo esercizio sia con i limiti notevoli che con D-H. ma nulla, qualcuno che ci riesce?

[bosmer-votailprof]

Devi utilizzare i seguenti asintotici:
$$
e^x\approx 1+x+x^2/2
$$
poi
$$
-\log(1+x)\approx -x+x^2/2
$$

Ed infinite
$$
cos(x)\approx 1-x^2/2
$$

che non sono altro che gli sviluppi di taylor al second ordine delle funzioni elementari, in zero.
ovviamente nel tuo caso non hai semplicemente $x$ quindi devi sostituire la ""X"" corretta all'interno dei vari asintotici.

[Clemenza]

Sono al primo anno di ingegneria quindi posso utilizzare solo determinati Infinitesimi equivalenti e non Taylor poichè è nel programma di Analisi 2, detto ciò io ho questo.



Quindi al numeratore rimane il problema.

[Clemenza]

Sono solo i seguenti.
sin(αx) ∼ αx
tan(αx) ∼ αx
1 − cos x ∼ (x^2/2)

ln(1 + x) ∼ x
e^x − 1 ∼ x
arcsin(x) ∼ x
arctan(x) ∼ x

[bosmer-votailprof]

Con gli asintotici che hai citato non è possibile risolverlo direttamente.

Tuttavia il limite si risolve ugualmente applicando due volte di fila de l'hopital, senza usare alcun asintotico.
Per inciso, applicare due volte De l'Hopital concettualmente è esattamente la stessa cosa che utilizzare lo sviluppo di Taylor.

Quindi non credo che il tuo professore non ve lo permetta, nel caso fosse veramente così, forse ha sbagliato mestiere.

[taurus85]

devi ricorrere alle serie di taylor e^(x^2)-1= $=$ x^2 + (1/2)x^4, log(x^2+1) $=$ x^2-(1/2)x^4 cosi facendo il numeratore tende a x^4, al denominatore bastano i limiti notevoli, l' espressione del coseno ovvero 2x^3 + 3x^2 applicando gli infinitesimi rimane 3x^2 quindi -(1-cos(3x^2)) applicando i limiti notevoli ottieni -(9/2)x^4, -1/(9/2)= -2/9....

[bosmer-votailprof]

@taurus85 , avevo già suggerito la soluzione che suggerisci anche tu nella prima risposta al quesito, ma come puoi leggere sopra, pare che alla studentessa non sia permesso utilizzare la serie di taylor...

Per cui non può sfruttare il tuo suggerimento... come ho già detto il limite si risolve ugualmente applicando due volte di fila il teorema di De l'Hopital.