Esercizio sui limiti

[Fabryak95]

Buonasera ragazzi,vorrei un consiglio su come approcciare questo limite :

$lim_(x->0^+)(e^(1/sin(x))-e^(1/x))$

Grazie in anticipo.

[Maxco]

Puoi scomporlo in 2 limiti o fare la sottrazione, in entrambi i casi non noti nulla?

[Fabryak95]

L'unica cosa che noto è che sin(x) è asintoticamente equivalente a x ma applicando l'equivalenza verrebbe 0 e quindi non posso applicarla

[francicko]

Ad occhio direi che il limite vale $0$, ma wolfram mi dice che va ad $infty $, non riesco a capire il perché.

[quantunquemente]

l'argomento del limite si può scrivere come
$e^(1/x)(e^((x-sinx)/(xsenx))-1)$
per $xrarr0$ si ha che $(x-sinx)/(xsinx) rarr 0$
quindi quello che sta in parentesi è asintotico a $(x-sinx)/(xsinx) $
ma a sua volta,$(x-sinx)/(xsinx) $ è asintotico a $(x-sinx)/x^2$
usando lo sviluppo di Mac Laurin del seno si ha che $x-sinx$ è asintotico a $x^3/6$
quindi,$(x-sinx)/(xsinx) $ è asintotico a $1/6x$

dovrebbe essere più abbordabile il calcolo di
$ lim_(x -> 0^+) e^(1/x)cdot1/6x $

[Fabryak95]

Purtroppo Mac Laurin non l'ho fatto quindi alternative a questa strada non ce ne sono?

[quantunquemente]

l'alternativa è vedere,con De L'Hopital,per quale $n in mathbbN$ si ha che
$ lim_(x -> 0) (x-sinx)/x^n $ è un numero diverso da zero

[francicko]

x quantunquemente.
Dato che con Hopital posso provare che $lim(x-sinx)/x^2=0$, e risultando così $e^((x-sinx)/x^2)-1~(x-sinx)/x^2$, e' sbagliato infine applicare Hopital ad$lim ((x-sinx )/x^2 )/(1/(e^(1/x))$?

[quantunquemente]

no,lo puoi fare , anche se è troppo calcoloso per i miei gusti

[francicko]

Ok!