Esercizio sui limiti

[asromavale1]

devo dimostrare che se $ a{::}_(\ \ n)rarr 0 $ e $ a{::}_(\ \ n)>= 0 $ $ AAnin N $ allora : $ lim_(n -> +oo )sqrt(a{::}_(\ \ n))=0 $
dimostrazione: $ AA epsilon>0EE v:0<= a{::}_(\ \ n)v $ .dato che la funzione $ f(x)=sqrt(x) $ è monotona (strettamente)crescente,risulta anche: $ o<= sqrt(a{::}_(\ \ n)) < sqrt(epsilon) $ ,ciò prova che $ sqrt(a{::}_(\ \ n)) rarr 0 $
quello che non mi è chiaro è quando dice che siccome la funzione è monotona crescente allora $ o<= sqrt(a{::}_(\ \ n)) < sqrt(epsilon) $ (perchè?).poi nell' ultimo passaggo penso usi il teorema dei carabinieri,ma se cosi' fosse,perchè $sqrt(epsilon) $ $ rarr 0 $?

[ostrogoto1]

La monotonia crescente della radice e' strettamente necessaria perche' altrimenti potrebbe non si potrebbe applicare la radice a entrambi i membri della disuguaglianza precedente per avere $ 0

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[ostrogoto1]

l'$epsilon$ e' quello che proviene dalla convergenza di $ a_n $.
In teoria per dimostrare che $ sqrt(a_n)rarr0 $ per $ nrarr+oo $ dovrei provare che:
$ AAeta>0" "EEN>0 $ tale che se $ n>N $ allora $ |sqrt(a_n)| Fissato $eta$ prendo $ epsilon=eta^2 $, ottenendo
$ 0 come richiesto. Spesso, quasi sempre questi ultimi passaggini sono sottointesi, come gia' e' accaduto nella dimostrazione del limite del prodotto di due successioni: quando si arriva a maggiorare con qualcosa con $epsilonrarr0$ (la' era per esempio qualcosa del tipo $ k*epsilon $ se ricordo bene), qui $ sqrt(epsilon) $ (naturalmente la somma $k+epsilon" "k!=0$ non va bene perche' non va a 0) si puo' considerare finita la dimostrazione.

[asromavale1]

ho capito l' esempio di x^2 ma perchè essendo la radice monotona crescente posso applicare la radice a entrambi i membri della disuguaglianza?

[ostrogoto1]

Pensa alla definizione di funzione monotona crescente in senso stretto:
$ f:mathbb(\I)rarrmathbb(R)" " Isube mathbb(R)" " a,binI" "a

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[asromavale1]

ah ok grazie