Esercizio sui limiti
Ciao, non capisco come risolvere questo esercizio:
$ lim_(n -> + oo )((2n)!) / (n^n) = $
Grazie!
$ lim_(n -> + oo )((2n)!) / (n^n) = $
Grazie!
Risposte
Formula di Stirling!?! Criterio del rapporto per successioni!?! 
Immagino che nel limite sia \(n \to +\infty\).
In tal caso si può fare ricorso alla formula di Stirling
\[
n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad n\to +\infty.
\]
Forse sto sparando a una mosca con un cannone, ma il limite diventa
\[
\lim_{n\to +\infty} \frac{(2 n)!}{n^n} = \lim_{n\to +\infty} 2\sqrt{\pi n}\left( \frac{2}{e} \right)^{2n} n^n = +\infty.
\]
In tal caso si può fare ricorso alla formula di Stirling
\[
n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad n\to +\infty.
\]
Forse sto sparando a una mosca con un cannone, ma il limite diventa
\[
\lim_{n\to +\infty} \frac{(2 n)!}{n^n} = \lim_{n\to +\infty} 2\sqrt{\pi n}\left( \frac{2}{e} \right)^{2n} n^n = +\infty.
\]
Innanzitutto grazie per le risposte e per aver sottolineato l'imprecisione (ho modificato).
Però non ho idea di chi sia Stirling!
Quella formula non l'abbiamo ancora vista.
Però non ho idea di chi sia Stirling!
Quella formula non l'abbiamo ancora vista.
Conosci il criterio del rapporto per successioni?
Che libro usi?
Che libro usi?
"gugo82":
Conosci il criterio del rapporto per successioni?
Che libro usi?
Direi proprio di no.
Più che un libro uso dei pdf del mio prof. Ma ho anche un libro di mio fratello: Analisi matematica, C.D.Pagani S.Salsa, ed. Masson.
C'è un utile criterio per stabilire se una successione converge a zero o diverge, cioé il seguente:
Applicando il criterio al tuo caso, cioé ad \(a_n:=\frac{(2n)!}{n^n}\), cosa trovi?
Sia \((a_n)\) una successione a termini positivi.
Se:
\[
\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} =l<1
\]
allora \(a_n\to 0\).
Invece, se:
\[
\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} =l>1
\]
allora \(a_n\to \infty\).
Applicando il criterio al tuo caso, cioé ad \(a_n:=\frac{(2n)!}{n^n}\), cosa trovi?
$ lim_n \frac{((2n+2)!) / ((n+1)^(n+1))}{((2n)!) / (n^n)} = $
$ lim_n \frac{(2n+2)!}((n+1)^(n+1)) \cdot (n^n)/((2n)!) = $
È giusto così? Adesso come vado avanti?
$ lim_n \frac{(2n+2)!}((n+1)^(n+1)) \cdot (n^n)/((2n)!) = $
È giusto così? Adesso come vado avanti?
Semplifica un po' i fattoriali, e poi applica le proprietà delle potenze per ricondurti a qualcosa di molto noto.
$ lim_(n) (n^n)/(n+1)^(n+1)(2n+2)(2n+1)= $
$ lim_(n) (n^n)/((n+1)^n (n+1)) 2(n+1)(2n+1)= $
$ lim_(n) (n^n)/((n+1)^n) 2(2n+1)= $
$ lim_(n) (n/(n+1))^n 2(2n+1)= $
$ lim_(n) ((n+1)/n)^-n 2(2n+1)= $
$ lim_(n) (1+1/n)^-n 2(2n+1)= $
Mi viene come risultato $ + oo $ ... dimmi tu.
$ lim_(n) (n^n)/((n+1)^n (n+1)) 2(n+1)(2n+1)= $
$ lim_(n) (n^n)/((n+1)^n) 2(2n+1)= $
$ lim_(n) (n/(n+1))^n 2(2n+1)= $
$ lim_(n) ((n+1)/n)^-n 2(2n+1)= $
$ lim_(n) (1+1/n)^-n 2(2n+1)= $
Mi viene come risultato $ + oo $ ... dimmi tu.
E certo...
Quindi la successione assegnata che fa?
Quindi la successione assegnata che fa?
"gugo82":
E certo...
Quindi la successione assegnata che fa?
Secondo il criterio che mi hai detto, quindi, la successione tende a infinito!
Certo.
D'altra parte, ciò conferma quanto trovato per altra via da alephante.
D'altra parte, ciò conferma quanto trovato per altra via da alephante.
Beh che dire... grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo