Esercizio sui complessi

[Maryse1]

Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio sui numeri complessi?. Il testo è questo:
Siano u, v, w tre numeri complessi distinti. Dimostrare che se u, v, w sono i vertici di un triangolo equilatero allora $ (u+v+w)^2$ = 3(uv+vw+uw)

Ho iniziato svolgendo il quadrato e quindi mi rimane $ (u+v+w)^2$ = uv+vw+uw che è quello che devo dimostrare..come posso continuare?

[Clorinda1]

"Maryse":
Ho iniziato svolgendo il quadrato e quindi mi rimane $ (u+v+w)^2$ = uv+vw+uw

Come hai trovato questo risultato?

[Clorinda1]

Riflettendoci un po', ho fatto le seguenti considerazioni:
$d(u,v)=d(v,w)=d(u,w)$ quindi $|u-v|=|v-w|=|w-u|$
visto che il triangolo è equilatero.
quindi $|(u-v)/(v-w)|=1$ e $|(v-w)/(w-u)|=1.$
Quindi $(u-v)(w-u)=(v-w)(v-w)$.
Ne segue che: $uw-u^2-vw-uw=v^2-vw-vw+w^2$
e quindi $u^2+v^2+w^2=uw+wv+vu$

[Maryse1]

"Clorinda":[quote="Maryse"]
Ho iniziato svolgendo il quadrato e quindi mi rimane $ (u+v+w)^2$ = uv+vw+uw

Come hai trovato questo risultato?[/quote]
svolgendo il quadrato del trinomio

[gugo82]

Ma scusa... il quadrato del trinomio si calcola così:
\[
(u+v+w)^2=u^2+2uv+2uw+v^2+2vw+w^2\; ,
\]
no?

Ad ogni modo, per risolvere l'esercizio, chiediti cosa vuol dire geometricamente che \(u,v,w\) sono veritici di un triangolo equilatero e chiediti come è possibile rappresentare tre punti del genere usando numeri complessi.

[Maryse1]

Comunque grazie per la risposta così ho risolto xD

[gugo82]

Prego... Ma a questo punto siamo curiosi di sapere come hai risolto.

[Clorinda1]

Così però non abbiamo trovato quello che ti aspettavi, infatti il mio risultato è diverso dalla tua richiesta iniziale.
Il testo dell'esercizio era proprio come l'hai scritto tu?

[gugo82]

"gugo82":Prego... Ma a questo punto siamo curiosi di sapere come hai risolto.

Vabbé a questo punto lo svolgo io.

Dim.: Divido la dimostrazione in due passi.

1. La cosa è vera se il triangolo è centrato in \(0\).
In tal caso è \(u=re^{\imath\ \theta}\ \epsilon_0\), \(v=re^{\imath\ \theta}\ \epsilon_1\) e \(w=re^{\imath\ \theta}\ \epsilon_2\), in cui \(r>0\), \(\theta \in [0,2\pi[\) e \(\epsilon_0,\epsilon_1,\epsilon_2\) sono le tre radici terze dell'unità[nota]Come noto è:
\[
\epsilon_0=1,\ \epsilon_1^2=\epsilon_2,\ \epsilon_2^2=\epsilon_1,\ \epsilon_1\ \epsilon_2=\epsilon_0\; .
\][/nota].
Un calcolo esplicito mostra che:
\[
\begin{split}
(u+v+w)^2 &= r^2e^{\imath\ 2\theta}\ (\epsilon_0 + \epsilon_1+\epsilon_2)^2\\
&= r^2e^{\imath\ 2\theta}\ (\epsilon_0^2 + 2\epsilon_0\ \epsilon_1+2\epsilon_0\ \epsilon_2+\epsilon_1^2+2\epsilon_1\ \epsilon_2+\epsilon_2^2)\\
&= r^2e^{\imath\ 2\theta}\ (\epsilon_0 + 2 \epsilon_0\ \epsilon_1 +2 \epsilon_0\ \epsilon_2 +\epsilon_2 +2\epsilon_1\ \epsilon_2+\epsilon_1)\\
&= r^2e^{\imath\ 2\theta}\ (\epsilon_1\ \epsilon_2+ 2 \epsilon_0\ \epsilon_1 +2 \epsilon_0\ \epsilon_2 +\epsilon_0\ \epsilon_2 +2\epsilon_1\ \epsilon_2+\epsilon_0\ \epsilon_1)\\
&= 3\ \left( re^{\imath\ \theta}\epsilon_1\ re^{\imath\ \theta}\epsilon_2+ re^{\imath\ \theta}\epsilon_0\ re^{\imath\ \theta}\epsilon_1+ re^{\imath\ \theta} \epsilon_0\ re^{\imath\ \theta}\epsilon_2 \right)\\
&= 3\ (uv+uw+vw)\; ,
\end{split}
\]
come volevo.

2. La cosa vale in generale, cioé se il triangolo è centrato in un punto qualsiasi \(z_0\in \mathbb{C}\).
In tal caso, esistono \(\alpha,\beta,\gamma\) vertici di un triangolo equilatero centrato in \(0\) tali che \(u=z_0+\alpha\), \(v=z_0+\beta\), \(w=z_0+\gamma\). Usando il passo 1, trovo:
\[
\begin{split}
(u+v+w)^2 &= (3z_0 + \alpha+\beta+\gamma)^2\\
&= 9z_0^2+ 6z_0\ (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha+\beta+\gamma)^2\\
&= 9z_0^2+ 6z_0\ (\alpha+\beta+\gamma) + 3\ (\alpha\beta +\alpha\gamma + \beta\gamma)\\
&= 3\ \left( 3z_0^2+ 2z_0\ (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta +\alpha\gamma + \beta\gamma) \right)\\
&= 3\ \left( (z_0+\alpha) (z_0+\beta) + (z_0+\alpha) (z_0+\gamma) + (z_0+\beta) (z_0+\gamma) \right)\\
&= 3\ (uv+uw+vw)\; ,
\end{split}
\]
come volevo.

[Clorinda1]

Visto che il topic è aperto, rilancio con una domanda: dove sta l'errore nel mio ragionamento (vedasi un paio di post sopra)? Io ho trovato un risultato diverso...

[Maryse1]

Oddio ho notato solamente adesso le risposte, scusate xD
E' appunto se svolgo il quadrato quello che mi rimane da dimostrare è quello che ho scritto sopra..
cioè anche il professore nelle soluzioni ha iniziato così xD solo che poi non avevo ben capito il procedimento..