Esercizio sui campi centrali

[Elna1]

Buongiorno a tutti

Sto facendo un esercizio sui campi vettoriale centrali:

$ F(x)= g(||x||)*x $
dove $ x in RR^n -{0} $ e $ g in C^1(RR^+;RR) $

Devo trovare un potenziale di F
Arrivo alla prima integrazione:

$\int g(||x||) * x_1 dx_1 = \int g(sqrt(x_1^2+...+x_n^2))*x_1 dx_1 $
Ma qui non riesco a risolvere l'integrale
Grazie a chiunque mi aiuterà!!

[dissonance]

Usa un po' di fantasia. Siccome \(F\) è essenzialmente una funzione di una sola variabile, che di solito si chiama \(r\), (con \(r=\|x\|\)), il problema si deve ridurre ad una integrazione di una sola variabile. Scrivi
\[
F(x) = g(r) x, \]
andando ad intuito, chi potrebbe essere una primitiva di \(F\)?

[Elna1]

Cioè integro rispetto a $x_1 $ considerando $g(r)$ una costante dentro l'integrale?

[dissonance]

Prova a considerare una primitiva \(G\) di \(g=g(r)\), che è una funzione di una sola variabile. Cosa succede se calcoli \(\nabla \big( G(\|x\|)\big)\)?

[gugo82]

A parte il consiglio (sensatissimo) di dissonance, consiglio di partire dal caso di due variabili e poi generalizzare.

[dissonance]

"gugo82":consiglio di partire dal caso di due variabili e poi generalizzare.

"Graham, Knuth and Patashnik":"Smart mathematicians are not ashamed to think small" [da Concrete Mathematics, pag.2].

In questo problema ragionare sul caso di due variabili è un chiaro esempio di "thinking small". Sottoscrivo il consiglio di Gugo.

[gugo82]

@ dissonance:
[ot]Citi Knuth, ma per me la questione è più profonda, direi quasi "genetica"... Leggendo parecchi articoli di Caccioppoli si trovano affermazioni circa la generalità dei risultati, seguite poi da frasi del tipo consideriamo, per semplicità, una funzione di due variabili $f(x,y)$ continua in un dominio rettangolare ...

Tipico atteggiamento che mandava al manicomio i recensori degli articoli di Caccioppoli su Mathematical Reviews (vedi quelle negativissime di L. C. Young per gli articoli sulla misura $k$-dimensionale in spazi $n$-dimensionali).[/ot]