Esercizio sugli zeri di un polinomio complesso
Ciao tutti ragazzi. Volevo chiedervi un chiarimento riguardo lo svolgimento di questo esercizio:
(- 8i + z^3) = 0
Io procederei:
- Scomponendo il polinomio in una somma di cubi, quindi avrei: $ (z+2i)*(z^2-2iz-4) $ e senza problemi riesco a trovare le radici;
- Oppure utilizzando la formula per le radici n-esime, quindi: $ sqrt|z| * e^[(i*argz+2kpi) / n] $ , con k=0,...,n-1.
Proprio su quest'ultima ho un dubbio che mi assale. Quando vado a calcolare l'argomento di z, utilizzo: $ Argz = arctan (y/x) $ , giusto?
In questo caso y = 8i, ma la x non è presente e quindi x = 0. Alla fine avrei $ arctan (8i/0) $ che è impossibile da calcolare.
Cosa sbaglio?
Grazie a tutti anticipatamente
(- 8i + z^3) = 0
Io procederei:
- Scomponendo il polinomio in una somma di cubi, quindi avrei: $ (z+2i)*(z^2-2iz-4) $ e senza problemi riesco a trovare le radici;
- Oppure utilizzando la formula per le radici n-esime, quindi: $ sqrt|z| * e^[(i*argz+2kpi) / n] $ , con k=0,...,n-1.
Proprio su quest'ultima ho un dubbio che mi assale. Quando vado a calcolare l'argomento di z, utilizzo: $ Argz = arctan (y/x) $ , giusto?
In questo caso y = 8i, ma la x non è presente e quindi x = 0. Alla fine avrei $ arctan (8i/0) $ che è impossibile da calcolare.
Cosa sbaglio?
Grazie a tutti anticipatamente
Risposte
Non sbagli nulla, semplicemente non possiamo usare la "strategia" dell' arcotangente quando il numero complesso è un numero immaginario puro (e il motivo è quello che dici tu: dato che $x=0$, avremmmo $arctan(y/0)$).
Ma se il numero è immaginario puro, si fa molto alla svelta (così come si fa alla svelta se il numero reale):
abbiamo $z= a i$ con $a in RR$. Il modulo è $|a|$, e l'argomento è $pi/2$ (se $a>0$) oppure $3/2 pi$ (se $a<0)$.
Nel nostro caso: l'equazione è $z^3=8i$
Dato che, per quanto appena detto, $8i = 8*e^(i pi/2)$, dobbiamo risolvere $rho^3 e^(i 3 theta)= 8 e^(i pi/2)$
Ma se il numero è immaginario puro, si fa molto alla svelta (così come si fa alla svelta se il numero reale):
abbiamo $z= a i$ con $a in RR$. Il modulo è $|a|$, e l'argomento è $pi/2$ (se $a>0$) oppure $3/2 pi$ (se $a<0)$.
Nel nostro caso: l'equazione è $z^3=8i$
Dato che, per quanto appena detto, $8i = 8*e^(i pi/2)$, dobbiamo risolvere $rho^3 e^(i 3 theta)= 8 e^(i pi/2)$
Grazie mille per la risposta. Una cosa non ho capito, come mai l'argomento è $π/2$ se a > 0 e $3/2π$ se a < 0?
Un'altra cosa, riguardante un altro esercizio (scrivo qui per evitare di aprire mille topic diversi). Ho la seguente equazione:
$ |z+2i|=||z|-2| $
Come mi devo comportare con quel doppio modulo al secondo membro?
Grazie
Un'altra cosa, riguardante un altro esercizio (scrivo qui per evitare di aprire mille topic diversi). Ho la seguente equazione:
$ |z+2i|=||z|-2| $
Come mi devo comportare con quel doppio modulo al secondo membro?
Grazie
"GOPRO HERO4":Che cos'è, per definizione, l'argomento di un numero complesso?
Grazie mille per la risposta. Una cosa non ho capito, come mai l'argomento è $π/2$ se a > 0 e $3/2π$ se a < 0?
Dipende su che intervallo "si lavora" giusto?
Quindi in questo caso essendo sull'intervallo (0,2pi] l'argomento è π/2 se a > 0 e 3/2π se a < 0.
Tornando un attimo alla equazione del messaggio precedente, sono riuscito a risolvere la questione dei due moduli, ma mi blocco alla fine in quanto ottengo: $ -y=sqrt(x^2 + y^2) $
Come procedo ora?
Dovrei ottenere come risultati: y<0 e x=0.
Grazie
Quindi in questo caso essendo sull'intervallo (0,2pi] l'argomento è π/2 se a > 0 e 3/2π se a < 0.
Tornando un attimo alla equazione del messaggio precedente, sono riuscito a risolvere la questione dei due moduli, ma mi blocco alla fine in quanto ottengo: $ -y=sqrt(x^2 + y^2) $
Come procedo ora?
Dovrei ottenere come risultati: y<0 e x=0.
Grazie
anche a me viene $y= - sqrt(x^2+y^2)$
Intanto la prima cosa da fare è osservare che $y<=0$.
Elevando al quadrato si ha $y^2 = x^2+y^2$, cioè $x^2 =0 => x=0$
Intanto la prima cosa da fare è osservare che $y<=0$.
Elevando al quadrato si ha $y^2 = x^2+y^2$, cioè $x^2 =0 => x=0$
Capito tutto, grazie davvero per la tua pazienza e per essere stato molto chiaro nei passaggi 
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