Esercizio sugli integrali propri

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno, ho questo esercizio:
"Verificare che per ogni $n>=0$
$int((e^x)(x^n))dx=(e^x)(\sum((-1)^k k! x^(n-k) ((n!)/(((n-k)!)k!))+c)$" (la sommatoria va da $k=1$ a $n$)
Ho pensato di procedere per induzione, dimostro quindi che e' vero per $n=1$
$int(xe^x)dx=xe^x-e^x$
e la sommatoria e' $e^x(x-1)$ quindi e' vero
Ora lo suppongo vero per n-1 e devo dimostrarlo per n
$int((e^x)(x^n))dx= x^ne^x-n(int((e^x)(x^(n-1))dx)$ risolvendolo per parti
$(int((e^x)(x^(n-1))dx)$ qui vale l'ipotesi induttiva quindi posso sostituirlo con la corrispondete sommatoria e facendo i dovuti raccogliemnti otterrei
$int((e^x)(x^n))dx= e^x(x^n-n(\sum((-1)^k k! x^(n-1-k) ((n-1!)/(((n-k-1)!)k!))+c)$
A questo punto come posso concludere??

[otta96]

Probabilmente l'indice della sommatoria parte da $0$, sennò non torna nemmeno la base induttiva, detto questo, dovresti portare dentro la sommatoria il "$-n$", e fare un cambiamento di indice tale da riuscire ad infilarci dentro $x^n$ (ti suggerisco $j=k+1$).

[ludovica.sarandrea]

"otta96":Probabilmente l'indice della sommatoria parte da $0$, sennò non torna nemmeno la base induttiva, detto questo, dovresti portare dentro la sommatoria il "$-n$", e fare un cambiamento di indice tale da riuscire ad infilarci dentro $x^n$ (ti suggerisco $j=k+1$).

Ho provato a farlo ma non capisco per cosa mi possa essere utile.

[otta96]

Cosa ti viene?

[ludovica.sarandrea]

"otta96":Cosa ti viene?

$int((e^x)(x^n))dx=e^x(x^n−n(∑((−1)^(j-1))(j-1)!x^(n−j)((n−1!)/(((n-j)!)(j-1!))+c)$

[liberatorimatteo]

Dobbiamo dimostrare che

$ \int e^x\cdotx^ndx=e^x\sum_{k=0}^n(-1)^k k! ((n),(k))x^(n-k)+c $

Un modo per farlo è per induzione. Per la base:

Ho pensato di procedere per induzione, dimostro quindi che e' vero per n=1
$∫(xe^x)dx=xe^x−e^x$
e la sommatoria e' $e^x(x−1)$ quindi e' vero

è giusto ma visto che la sommatoria parte da $0$ potevi far vedere che era vera per $n=0$ e quindi

$ \int e^xdx=e^x+c $

chiaramente vero. Suppongo vera la tesi $n$, se riesco a far vedere che

$ \int e^x\cdotx^(n+1)dx=e^x\sum_{k=0}^(n+1)(-1)^k k! ((n+1),(k))x^(n+1-k)+c $

ho concluso. Comincio applicando l'integrazione per parti:

$ \int e^x\cdotx^(n+1)dx=e^x\cdotx^(n+1)-(n+1) \int e^x\cdotx^ndx$

Per l'ipotesi induttiva si ha:

$e^x\cdotx^(n+1)-(n+1) \int e^x\cdotx^ndx=e^x\cdotx^(n+1)-(n+1)(e^x\sum_{k=0}^n(-1)^k k! ((n),(k))x^(n-k))$
$=e^x(x^(n+1)-(n+1)\sum_{k=0}^n(-1)^k k! ((n),(k))x^(n-k))$

Ora puoi portare il meno nella sommatoria e utilizzare la Traslazione dei limiti superiore ed inferiore per le sommatorie ossia che $\sum_{k=a+1}^(b)x=\sum_{k=1}^(b-a)(x+a)$. Quindi si ha

$e^x(x^(n+1)-(n+1)\sum_{k=0}^n(-1)^k k! ((n),(k))x^(n-k))$

$=e^x(x^(n+1)-(n+1)\sum_{k=1}^(n+1)(-1)^(k+1) (k+1)! ((n),(k+1))x^(n-k-1))$

$=e^x(x^(n+1)+(n+1)\sum_{k=1}^(n+1)(-1)^(k) (k-1)! ((n),(k-1))x^(n-k+1))$

Ora basta portare $(n+1)$ nella sommatoria infatti si avrebbe:

$(n+1)(k-1)! ((n),(k-1))=(n+1)(k-1)! (n!)/((n-k+1)!(k-1)!)$

$=((n+1)!)/((n-k+1)!)=k!((n+1)!)/((n-k+1)!k!)=k!((n+1),(k))$

Quindi si ha:

$e^x(x^(n+1)+(n+1)\sum_{k=1}^(n+1)(-1)^(k) (k-1)! ((n),(k-1))x^(n-k+1))$

$=e^x(x^(n+1)+\sum_{k=1}^(n+1)(-1)^(k) k!((n+1),(k))x^(n-k+1))$

[ludovica.sarandrea]

"Freebulls":Dobbiamo dimostrare che

$ \int e^x\cdotx^ndx=e^x\sum_{k=0}^n(-1)^k k! ((n),(k))x^(n-k)+c $

Un modo per farlo è per induzione. Per la base:

Ho pensato di procedere per induzione, dimostro quindi che e' vero per n=1
$∫(xe^x)dx=xe^x−e^x$
e la sommatoria e' $e^x(x−1)$ quindi e' vero

è giusto ma visto che la sommatoria parte da $0$ potevi far vedere che era vera per $n=0$ e quindi

$ \int e^xdx=e^x+c $

chiaramente vero. Suppongo vera la tesi $n$, se riesco a far vedere che

$ \int e^x\cdotx^(n+1)dx=e^x\sum_{k=0}^(n+1)(-1)^k k! ((n+1),(k))x^(n+1-k)+c $

ho concluso. Comincio applicando l'integrazione per parti:

$ \int e^x\cdotx^(n+1)dx=e^x\cdotx^(n+1)-(n+1) \int e^x\cdotx^ndx$

Per l'ipotesi induttiva si ha:

$e^x\cdotx^(n+1)-(n+1) \int e^x\cdotx^ndx=e^x\cdotx^(n+1)-(n+1)(e^x\sum_{k=0}^n(-1)^k k! ((n),(k))x^(n-k))$
$=e^x(x^(n+1)-(n+1)\sum_{k=0}^n(-1)^k k! ((n),(k))x^(n-k))$

Ora puoi portare il meno nella sommatoria e utilizzare la Traslazione dei limiti superiore ed inferiore per le sommatorie ossia che $\sum_{k=a+1}^(b)x=\sum_{k=1}^(b-a)(x+a)$. Quindi si ha

$e^x(x^(n+1)-(n+1)\sum_{k=0}^n(-1)^k k! ((n),(k))x^(n-k))$

$=e^x(x^(n+1)-(n+1)\sum_{k=1}^(n+1)(-1)^(k+1) (k+1)! ((n),(k+1))x^(n-k-1))$

$=e^x(x^(n+1)+(n+1)\sum_{k=1}^(n+1)(-1)^(k) (k-1)! ((n),(k-1))x^(n-k+1))$

Ora basta portare $(n+1)$ nella sommatoria infatti si avrebbe:

$(n+1)(k-1)! ((n),(k-1))=(n+1)(k-1)! (n!)/((n-k+1)!(k-1)!)$

$=((n+1)!)/((n-k+1)!)=k!((n+1)!)/((n-k+1)!k!)=k!((n+1),(k))$

Quindi si ha:

$e^x(x^(n+1)+(n+1)\sum_{k=1}^(n+1)(-1)^(k) (k-1)! ((n),(k-1))x^(n-k+1))$

$=e^x(x^(n+1)+\sum_{k=1}^(n+1)(-1)^(k) k!((n+1),(k))x^(n-k+1))$

Grazie mille!