Esercizio sugli integrali impropri

[ludovica.sarandrea]

Ho il seguente esercizio:
"Per $a∈R^(+)$ e $x∈(0,1)$ , si consideri la funzione
$f_a(x)=(cos(2x)(x − sin(x)))/(x^a(1-x)^(1/a)(sin(πx))^(1/2))$
Ho studiato la convergenza per $a>0$ di $int_{0}^{1} f_a(x)$ e ho che e' convergente per $a∈(2, 7/2)$
Ora l'esericizio mi chiede di dimostrare che esiste $t$ tale che $int_{0}^{t} f_1(x)=0$. Come faccio?? Potete darmi qualche idea?

[killing_buddha]

$f_1(x)$ in $[0,1[$ cresce fino a un punto di massimo $x_0$ (che puoi trovare annullando la sua derivata seconda) e poi decresce indefinitamente, si annulla in \(\xi \sim 0.8\), e tende a $-\infty$ quando $x\to 1^-$. Il teorema degli zeri applicato alla funzione integrale
\[ F(t) = \int_0^t f_1(x)dx\] ora ti dice che (siccome $F(t) > 0$ per $t\in[0,\xi]$) e allo stesso tempo $F(t)$ è negativa e grande a piacere in modulo su $]\xi,1]$) deve passare per zero (è continua!).