Esercizio sugli integrali impropri

[ludovica.sarandrea]

Ho il seguente esercizio:
"Dimostra che per ogni $n>0$ $int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx=\prod_{k=1}^{n}(2k)/(2k-1)$"
Io ho svolto cosi:
Chiamo $I_n=int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx$ e calcolo $I_1$
$I_1=int_{0}^{1} (1-x^2)dx=2/3$
Provo a calcolare $I_n$ per parti
$I_n=[x(1-x^2)^n]_{0}^{1} - int_{0}^{1} n(1-x^2)^(n-1)(-2x)dx$
Ora come continuo??
So che dovrei ricondurre la scrittura a qualcosa del tipo $I_n=?? I_(n-1)$ ma non so come fare

[pilloeffe]

Ciao ludovica_97,

$I_n=int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx $

Posto $x := cos t \implies dx = - sin t dt $, si ha:

$ I_n=int_{\pi/2}^{0} (1-cos^2 t)^n (- sin t) dt = int_{0}^{\pi/2} sin^{2n + 1} t dt $

Ora $W_p := int_{0}^{\pi/2} sin^{p} t dt $ è uno dei due integrali di Wallis (l'altro, $W_p := int_{0}^{\pi/2} cos^{p} t dt $ si può ottenere dal primo con la sostituzione $t := pi/2 - u $). Quindi l'integrale proposto è un integrale di Wallis calcolato per $p = 2n + 1$ dispari, cioè $I_n = W_{2n + 1} $. Integrando per parti si ha:

\begin{equation*}
\boxed{\int \sin^{p}t dt = - \dfrac{1}{p}\,\cos t \sin^{p - 1} t + \dfrac{p - 1}{p} \int \sin^{p - 2} t dt
\hskip 2.0cm p \ge 2}
\end{equation*}

Quindi, passando all'integrale definito, si ha:

\begin{equation*}
\begin{split}
W_{p} := \int_{0}^{\pi/2} \sin^{p} t dt & = - \dfrac{1}{p}\big[\cos t \sin^{p - 1} t \big]_{0}^{\pi/2} + \dfrac{p - 1}{p} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{p - 2} t dt =\\
& = - \dfrac{1}{p}\big[\cos(\pi/2) \sin^{p - 1}(\pi/2) - \cos0\sin^{p - 1}0\big] + \dfrac{p - 1}{p} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{p - 2} t dt =\\
& = \dfrac{p - 1}{p} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{p - 2} t dt = \dfrac{p - 1}{p} W_{p - 2}
\end{split}
\end{equation*}

In definitiva si ottiene la relazione di ricorrenza seguente:

\begin{equation*}
\boxed{W_{p} = \dfrac{p - 1}{p}\, W_{p - 2}
\hskip 2.0cm p \ge 2}
\end{equation*}

Per $p = 2n + 1$ dispari si ha:

\begin{equation*}
W_{2n + 1} = \dfrac{2n}{2n + 1}\, W_{2n - 1} = ... = \dfrac{2n}{2n + 1} \cdot \dfrac{2n - 2}{2n - 1} \cdot ... \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 1 = \dfrac{(2n)!!}{(2n + 1)!!}
\end{equation*}

A questo punto dovresti essere in grado di concludere autonomamente.