Esercizio sugli integrali
C'era un esercizio che stavo cercando di fare sugli integrali, ma non mi riesce, il testo è questo: sia $f:[a,b]->RR$ continua, non negativa, si dimostri che $\lim_{n->+\infty} root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx)=max_{a<=x<=b}f(x)$.
So che dovrei postare un mio tentativo, ma non mi viene in mente proprio nulla, potreste darmi una spintarella nella direzione giusta?
So che dovrei postare un mio tentativo, ma non mi viene in mente proprio nulla, potreste darmi una spintarella nella direzione giusta?
Risposte
La butto lì: Teorema della media? (Ho troppo sonno e mi bruciano gli occhi, non riesco a scrivere più di tanto).
Siano $M $ il valore massimo di $f $, $x_0 in [a,b]$ un punto tale che $f (x_0)=M $, e $L $ il limite cercato. Fissaro $alpha in (0,M) $, chiaramente $f (x_0)>alpha $, ma allora per continuità $f (x)>alpha$ in un intervallo, quindi, se $g $ è la funzione costantemente uguale ad $alpha$ in tale intervallo e costantemente nulla nel suo complementare, risulta $g <= f <= M $. Per confronto, calcolando gli integrali e passando al limite si trova $alpha <= L <= M $, e per l'arbitrarietà di $alpha $ si conclude.
@ spugna
Ti dispiace postare i passaggi? Non ho compreso come fai a proteggerti dal fatto che l'ampiezza dell'intervallo in cui $[f(x)>alpha]$ può tendere a zero. Ad ogni modo, è un risultato noto che, nel caso in cui $f:[a,b]->RR$ sia continua e non negativa:
$[||f||_n=root(n)(\int_{a}^{b}f(x)^ndx)] ^^ [||f||_oo=max_{a<=x<=b}f(x)] rarr [\lim_{n \to \infty}||f||_n=||f||_oo]$
Tuttavia, anche se potrei sbagliarmi, ho l'impressione che la dimostrazione sia un po' più articolata.
Ti dispiace postare i passaggi? Non ho compreso come fai a proteggerti dal fatto che l'ampiezza dell'intervallo in cui $[f(x)>alpha]$ può tendere a zero. Ad ogni modo, è un risultato noto che, nel caso in cui $f:[a,b]->RR$ sia continua e non negativa:
$[||f||_n=root(n)(\int_{a}^{b}f(x)^ndx)] ^^ [||f||_oo=max_{a<=x<=b}f(x)] rarr [\lim_{n \to \infty}||f||_n=||f||_oo]$
Tuttavia, anche se potrei sbagliarmi, ho l'impressione che la dimostrazione sia un po' più articolata.
"anonymous_0b37e9":
è un risultato noto
Non per me, sto cercando di farlo per la prima volta.
@spugna ma come fai a dire che il limite esiste?
"otta96":
Non per me, sto cercando di farlo per la prima volta.
Questo lo immaginavo. Era solo per dire che, nella peggiore delle ipotesi, la dimostrazione dovrebbe essere reperibile.
Ah ok, avevo frainteso, scusa.
Io conosco una dimostrazione che usa la teoria della misura ma non so se è quello che stai cercando...
In effetti preferirei dimostrarlo limitandomi alle conoscenze di analisi 1, avendolo trovato su un libro di analisi 1.
Scusate, ho scritto con un po' di fretta... provo a dirlo meglio (sempre ammesso che funzioni)
Fissato $alpha $, definisco $g$ come nel messaggio precedente e chiamo $epsilon $ la lunghezza dell'intervallo in cui $g=alpha$. Da $f>=g$ segue
$root (n)(int_a^b f(x)^n dx)>=root (n)(int_a^b g (x)^n dx)=epsilon^(1/n) alpha $
Ora, tenendo $alpha$ fissato (e quindi anche $epsilon $), prendo il $\text{lim inf}_(n \rightarrow +oo) $ di entrambi i membri, ottenendo $L_(-) >= alpha $, ma per l'arbitrarietà di $alpha $ segue $L_(-)>=M $; in modo analogo si vede che il $\text{lim sup} $ è al più $M $, ma allora il limite esiste ed è uguale a $M $.
Non so, in effetti puzza un po' anche a me, ma non saprei dire se e dove sbaglio...
Fissato $alpha $, definisco $g$ come nel messaggio precedente e chiamo $epsilon $ la lunghezza dell'intervallo in cui $g=alpha$. Da $f>=g$ segue
$root (n)(int_a^b f(x)^n dx)>=root (n)(int_a^b g (x)^n dx)=epsilon^(1/n) alpha $
Ora, tenendo $alpha$ fissato (e quindi anche $epsilon $), prendo il $\text{lim inf}_(n \rightarrow +oo) $ di entrambi i membri, ottenendo $L_(-) >= alpha $, ma per l'arbitrarietà di $alpha $ segue $L_(-)>=M $; in modo analogo si vede che il $\text{lim sup} $ è al più $M $, ma allora il limite esiste ed è uguale a $M $.
Non so, in effetti puzza un po' anche a me, ma non saprei dire se e dove sbaglio...
Provo a riadattarla...giusto per la cronaca il risultato mi pare valere anche su spazi sigma finiti e non solo finito come quello che proponi tu. Ad ogni modo:
Sia $M := max_{a<=x<=b}f(x)$ (ben posto per Weierstrass).
Per ogni $t \in [0, M]$ definisco $A_t := \{ x \in [a;b] : f(x) \ge t \}$
1. $ \underset{n \to \infty}{\text{liminf }}root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx) \ge M$ :
$ root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx) \ge root(n)(\int_{A_t} f(x)^n dx) \ge t root(n)(|A_t|)$
e passando al limite e per l'arbitrarietà di $t$ hai la prima disuguaglianza.
2. $ \underset{n \to \infty}{\text{limsup }}root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx) \le M$ :
$ root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx) \le root(n)(\int_{a}^b M^ndx) = M(b-a)^{1/n}$
e passando al limite hai la seconda disuguaglianza.
Sia $M := max_{a<=x<=b}f(x)$ (ben posto per Weierstrass).
Per ogni $t \in [0, M]$ definisco $A_t := \{ x \in [a;b] : f(x) \ge t \}$
1. $ \underset{n \to \infty}{\text{liminf }}root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx) \ge M$ :
$ root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx) \ge root(n)(\int_{A_t} f(x)^n dx) \ge t root(n)(|A_t|)$
e passando al limite e per l'arbitrarietà di $t$ hai la prima disuguaglianza.
2. $ \underset{n \to \infty}{\text{limsup }}root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx) \le M$ :
$ root(n)(\int_{a}^b f(x)^ndx) \le root(n)(\int_{a}^b M^ndx) = M(b-a)^{1/n}$
e passando al limite hai la seconda disuguaglianza.
Beh direi che così funziona bene, grazie a tutti per le risposte.
P.S. Ma nell'ultima parte non si poteva prendere anche $r=0$?
P.S. Ma nell'ultima parte non si poteva prendere anche $r=0$?
Sì certo si può usare $r=0$, è un rimasuglio della dimostrazione più generale. Correggo.
Mi piace molto la dimostrazione di Bremen, che usa cose basilari di teoria della misura, ovvero i "sopralivelli" \(\{x: f(x)>t\}\). Volendo un approccio più ispirato dall'integrale di Riemann, uno può provare a ragionare come nello sketch che segue. Per prima cosa, consideriamo una "funzione a scala"
\[
s(x)=\sum_{k=1}^K h_k \mathbb 1_{\{b_1\le x < b_2\}}(x), \]
dove \(h_k > 0 \) e \(a= b_1
Nel caso generale bisogna approssimare \(f\) con una funzione a scala. Fissiamo \(\epsilon >0\). Se si riesce a trovare una funzione a scala \(s\) (dipendente da \(\epsilon\)) tale che:
1. \(f(x)\ge s(x)\) per ogni \(x\in [a,b]\),
2. \(\lim_{\epsilon \to 0}\max_{x\in [a,b]} s(x)= \max_{x\in [a,b]} f(x)\),
3. \( 0\le f(x)-s(x)\le \epsilon\) per ogni \(x\in [a, b]\),
allora si può concludere passando al limite per \(n\to\infty\) nelle disuguaglianze
\[
\left( \int_a^b s(x)^n\, dx\right)^\frac1n \le \left( \int_a^b f(x)^n\, dx\right)^\frac1n \le \max_{x\in [a,b]} f(x) (b-a)^\frac1n,\]
dove l'ultima identità è ovvia (e comunque dimostrata da Bremen sopra).
La vera difficoltà è quindi nel trovare una approssimazione come in 1,2,3, e si tratta di un buon esercizio nell'integrazione secondo Riemann, secondo me.
\[
s(x)=\sum_{k=1}^K h_k \mathbb 1_{\{b_1\le x < b_2\}}(x), \]
dove \(h_k > 0 \) e \(a= b_1
Nel caso generale bisogna approssimare \(f\) con una funzione a scala. Fissiamo \(\epsilon >0\). Se si riesce a trovare una funzione a scala \(s\) (dipendente da \(\epsilon\)) tale che:
1. \(f(x)\ge s(x)\) per ogni \(x\in [a,b]\),
2. \(\lim_{\epsilon \to 0}\max_{x\in [a,b]} s(x)= \max_{x\in [a,b]} f(x)\),
3. \( 0\le f(x)-s(x)\le \epsilon\) per ogni \(x\in [a, b]\),
allora si può concludere passando al limite per \(n\to\infty\) nelle disuguaglianze
\[
\left( \int_a^b s(x)^n\, dx\right)^\frac1n \le \left( \int_a^b f(x)^n\, dx\right)^\frac1n \le \max_{x\in [a,b]} f(x) (b-a)^\frac1n,\]
dove l'ultima identità è ovvia (e comunque dimostrata da Bremen sopra).
La vera difficoltà è quindi nel trovare una approssimazione come in 1,2,3, e si tratta di un buon esercizio nell'integrazione secondo Riemann, secondo me.
@Bremen000 Nel passaggio che hai corretto mi sembra manchi un $root(n) (b-a)$.
@dissonance mi sembra che in generale il punto 2 non possa essere soddisfatto per certe funzioni.
Non mi torna nemmeno tanto l'ultima disuguaglianza (quella che dici che è ovvia), per lo stesso motivo che ho scritto a Bremen000.
@dissonance mi sembra che in generale il punto 2 non possa essere soddisfatto per certe funzioni.
Non mi torna nemmeno tanto l'ultima disuguaglianza (quella che dici che è ovvia), per lo stesso motivo che ho scritto a Bremen000.
Il \((b-a)^\frac1n\), hai ragione, ce lo siamo scordato. Poco male: \(\lim_{n\to\infty} (b-a)^\frac1n \to 1\), quindi non dà nessun fastidio. Quanto al punto 2, potresti avere ragione, ma anche lì si può indebolire la cosa e richiedere
\[
\lim_{\epsilon \to 0} \max_{a\le x\le b} s_\epsilon(x) = \max_{a\le x \le b} f(x).\]
E questo mi pare molto più sicuro.
\[
\lim_{\epsilon \to 0} \max_{a\le x\le b} s_\epsilon(x) = \max_{a\le x \le b} f(x).\]
E questo mi pare molto più sicuro.
Questo mi pare decisamente più fattibile, e rinnovo i ringraziamenti per tutte le risposte visto che nel frattempo si è aggiunto qualcuno 
"otta96":
@Bremen000 Nel passaggio che hai corretto mi sembra manchi un $root(n) (b-a)$.
Senza dubbio, correggo!
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