Esercizio sugli insiemi reali
Dato l'insieme $ A = {nin N : 2^(n-1)<= n^(2)+n}U{x in Q : |x^(2)-2x|<=1} $
1) Dire se A è aperto o chiuso.
2) Individuare $ DA $ e $ delta A $ (derivato e insieme dei punti di frontiera)
3)Trovare infine supA e infA
Come posso procedere? Per prima cosa suppongo di dovermi esplicitare l'insieme dato: tuttavia non capisco come potrei risolvere la $ 2^(n-1)<= n^(2)+n $ analiticamente...ho provato allora a sostituire i primi valori e trovo che per n=1,2,3,4,5,6 la disequazione è confermata, oltre non più. Come posso dimostrarlo in modo più rigoroso?
Per quanto riguarda la seconda parte dell'insieme, devo risolvere il modulo e poi prendere solo i valori di Q compresi?
Infine...che senso ha parlare di punti di accumulazione, derivato e punti di frontiera se andrò a ricavarmi un insieme di punti singoli di Q ed N? Non sono questi concetti propri dei reali???
Help please!
1) Dire se A è aperto o chiuso.
2) Individuare $ DA $ e $ delta A $ (derivato e insieme dei punti di frontiera)
3)Trovare infine supA e infA
Come posso procedere? Per prima cosa suppongo di dovermi esplicitare l'insieme dato: tuttavia non capisco come potrei risolvere la $ 2^(n-1)<= n^(2)+n $ analiticamente...ho provato allora a sostituire i primi valori e trovo che per n=1,2,3,4,5,6 la disequazione è confermata, oltre non più. Come posso dimostrarlo in modo più rigoroso?
Per quanto riguarda la seconda parte dell'insieme, devo risolvere il modulo e poi prendere solo i valori di Q compresi?
Infine...che senso ha parlare di punti di accumulazione, derivato e punti di frontiera se andrò a ricavarmi un insieme di punti singoli di Q ed N? Non sono questi concetti propri dei reali???
Help please!
Risposte
"Fab527":
ho provato allora a sostituire i primi valori e trovo che per n=1,2,3,4,5,6 la disequazione è confermata,
e va bene così :una volta che l'esponenziale ha sorpassato chi lo ferma più
"Fab527":
un insieme di punti singoli di Q
come direbbe Razzi :"Questo non credo"
anche l'insieme $mathbbQ$ è denso in sè
"stormy":
[quote="Fab527"]ho provato allora a sostituire i primi valori e trovo che per n=1,2,3,4,5,6 la disequazione è confermata,
e va bene così :una volta che l'esponenziale ha sorpassato chi lo ferma più
"Fab527":
un insieme di punti singoli di Q
come direbbe Razzi :"Questo non credo"
anche l'insieme $mathbbQ$ è denso in sè[/quote]
Grazie della risposta! Ho continuato l'esercizio, dimmi se ti sembra corretto così:
risolvendo il valore assoluto si trova che $ 1-sqrt2 <= x <= 1+sqrt2 $: ora, $ sqrt2 $ è un irrazionale e dunque non fa parte di $ Q $ ...perciò nemmeno 1 con somma e differenza $ sqrt2 $ ne farà parte (dammi una conferma). Di conseguenza posso riassumere l'insieme come $ A= ]1-sqrt2 ; 1+sqrt2[ U {3,4,5,6} $ (ho escluso gli estremi di prima).
Il dubbio che ho ora è: cosa devo considerare come insieme complementare? Infatti è ovvio che i punti di accumulazione saranno tutti quelli trovati tranne gli appartenti a $ N $ isolati: si avrà allora che $ DA = [1-sqrt2;1+sqrt2] $ , sup e inf rispettivamente $ 1-sqrt2 $ e 6, ma per dire se l'insieme è chiuso o aperto e trovare i punti di frontiera devo conoscere il complementare a cui ci si riferisce. Ci si riferisce SEMPRE a $ R $ ? In tal caso allora otterrei che l'insieme è nè aperto nè chiuso, e che $ delta A= [1-sqrt2;1+sqrt2] $ ...infatti posso considerare gli irrazionali "incastrati" fra i razionali, i quali diventano perciò tutti punti di frontiera, poichè nel loro intorno contengono sia altri razionali che irrazionali...giusto?
a parte il tuo errore di distrazione ,in cui hai invertito sup e inf(per essere precisi, si può dire anche che 6 è il max dell'insieme),io direi che stando alla definizione,anche i punti isolati sono punti di frontiera perchè
$x_0$ è un punto di frontiera per $X$ se in ogni suo intorno esistono elementi di $X$ e del complementare di $X$
quindi ,gli elementi di $X$ non devono essere necessariamente diversi da $x_0$ (come accade nella definizione di punto di accumulazione)
per il resto,mi trovo d'accordo con tutti i tuoi ragionamenti
$x_0$ è un punto di frontiera per $X$ se in ogni suo intorno esistono elementi di $X$ e del complementare di $X$
quindi ,gli elementi di $X$ non devono essere necessariamente diversi da $x_0$ (come accade nella definizione di punto di accumulazione)
per il resto,mi trovo d'accordo con tutti i tuoi ragionamenti
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