Esercizio sugli insiemi (chiusi, aperti, compatti)

[selenerov]

Buonasera a tutti, mi trovo in difficoltà con un esercizio di analisi1 e vorrei chiedere aiuto/spiegazioni. Il testo è il seguente:

Mi è chiaro che si tratti di iperboli equilatere, ma non so come applicare le definizioni di insieme aperto/chiuso..
Grazie mille per l'aiuto

[vict85]

Penso che possa essere utile riscrivere la condizione come
\[\begin{alignat}{3}
0 &< 2+&&ny\lvert x \rvert &&< n+3 \\
-2 &< &&ny\lvert x \rvert &&< n+1 \\
-\frac{2}{n} &< &&y\lvert x \rvert &&< 1+\frac{1}{n}
\end{alignat}\]

Ovvero \(\displaystyle E_n = f^{-1}\bigl(\,( -2n^{-1}, 1+n^{-1} )\,\bigr) \) dove \(\displaystyle f = y\lvert x\rvert \) è continua. Nota che \(\displaystyle ( -2n^{-1}, 1+n^{-1} ) \) è aperto ma \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} ( -2n^{-1}, 1+n^{-1} ) = [0,1] \) che è chiuso.

Ti invito a fare le dovute considerazioni.