Esercizio sugli insiemi

[alenonno05]

Buonasera, sono ore che mi scervello con questo esercizio che non riesco a risolvere. Nello specifico non riesco a stabilire se la seconda affermazione è vera o falsa. La traccia è la seguente:

Sia $ f:RR^n->RR $ una funzione continua su tutto lo spazio e sia

$ E={bb"x" in RR^n: f(bb"x")>0} $

Stabilire se è vera o falsa ciascuna delle seguenti affermazioni, fornendo una dimostrazione (se vera) o un controesempio (se falsa):

$ ∂ Esube {bb"x" in RR^n:f(bb"x")=0}; $
$ ∂ E= {bb"x" in RR^n:f(bb"x")=0}; $
$ barE= {bb"x" in RR^n:f(bb"x")>=0}; $
$ barEsube {bb"x" in RR^n:f(bb"x")>=0}. $

Dove con ∂E ci si riferisce alla frontiera di E e con barE alla sua chiusura.
Ho già dimostrato (presumo correttamente) la validità della prima affermazione sfruttando il teorema della permanenza del segno, ma non riesco a trovare un controesempio che mi permetta di sfatare la seconda. Avevo pensato alla funzione f(x)=|x|, ma non avevo pensato al fatto che il punto x=0 fa effettivamente parte della frontiera di E. Se la seconda affermazione è vera, allora lo sono tutte quante, il che mi sembra strano...
Grazie in anticipo.

[otta96]

Considera (l'estensione per continuità di) $x(\sign(x)+1)$.

[alenonno05]

Grazie della risposta. Il motivo per cui la funzione $ f(x)=0 $ non è invece un controesempio valido è che la sua frontiera è vuota?

[otta96]

Si perchè $E$ è vuoto.

[alenonno05]

Grazie mille.