Esercizio sugli insiemi

[Gianluca911]

Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio di un tema d'esame che sto provando a risolvere in vista del prossimo appello.
L'esercizio dice:

"Un sottoinsieme E di R non vuoto è costituito solo da punti isolati e non ha punti di accumulazione. Dimostrare che E è chiuso. Stabilire se gli elementi di E sono punti di accumulazione per il complementare C di E in R."

Ho provato ad approcciare l'esercizio partendo dalla definizione di punti isolati e punti di accumulazione, ma non riesco ad andare avanti.

Grazie mille in anticipo

[zambozembo]

Io approccerei l'esercizio usando la definizione di insieme chiuso. Un insieme è chiuso se il complementare è aperto. L'unica cosa a cui bisogna un attimo prestare attenzione è il caso in cui gli elementi dell'insieme siano una quantità non finita. Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio, direi che è banale con la definizione di punto di accumulazione.

[Gianluca911]

Del sottoinsieme E non ho alcuna informazione, il testo dell'esercizio è solo questo.
Come faccio a dimostrare che il complementare di E è aperto?
Grazie in anticipo

[G.D.5]

Non vorrei dire sciocchezze ma si potrebbe anche procedere così.

Dato che \( E \subseteq \mathbb{R} \) è senza punti di accumulazione, il derivato di \( E \) è vuoto. Allora la chiusura di \( E \) coincide con \( E \) stesso, sicché \( E \) è chiuso.

[Gianluca911]

"G.D.":Non vorrei dire sciocchezze ma si potrebbe anche procedere così.

Dato che \( E \subseteq \mathbb{R} \) è senza punti di accumulazione, il derivato di \( E \) è vuoto. Allora la chiusura di \( E \) coincide con \( E \) stesso, sicché \( E \) è chiuso.

Grazie mille, penso possa funzionare.
Per la seconda parte dell'esercizio?
Se E è chiuso automaticamente so che il suo complementare è aperto, quindi contiene solo punti interni in R.
Posso considerare che, trovandomi in R, quei punti costituiscono dei punti di accumulazione oppure è un'ipotesi troppo forte?

[G.D.5]

Se non ho capito male la consegna, non devi stabilire se i punti di \( C \) sono di accumulazione per \( C \) ma devi stabilire se i punti di \( E \), che per \( E \) sono tutti isolati, sono di accumulazione per \( C \).

[Gianluca911]

"G.D.":Se non ho capito male la consegna, non devi stabilire se i punti di \( C \) sono di accumulazione per \( C \) ma devi stabilire se i punti di \( E \), che per \( E \) sono tutti isolati, sono di accumulazione per \( C \).

Giusto, hai ragione. In tal caso non saprei proprio da dove cominciare....
Qualche idea? Grazie mille in anticipo

[axpgn]

Non vorrei sbagliarmi ma un punto di accumulazione per l'insieme $C$ è un punto che in ogni suo intorno deve contenere punti di $C$, quindi se $E$ è composto solo da punti isolati, ogni suo intorno contiene punti del suo complemento (cioè di $C$) che è proprio la definizione di punto accumulazione di $C$. Isn't it?

Cordialmente, Alex

[G.D.5]

Concordo con axpgn.

[Gianluca911]

"G.D.":Concordo con axpgn.

"axpgn":Non vorrei sbagliarmi ma un punto di accumulazione per l'insieme $C$ è un punto che in ogni suo intorno deve contenere punti di $C$, quindi se $E$ è composto solo da punti isolati, ogni suo intorno contiene punti del suo complemento (cioè di $C$) che è proprio la definizione di punto accumulazione di $C$. Isn't it?

Cordialmente, Alex

Grazie mille ad entrambi, mi avete risolto un problema enorme.
Ancora grazie, vi auguro una buona giornata