Esercizio - Successioni e funzioni continue
$f : [0, 1] -> RR$, continua. Inoltre sia $f(0) = f(1)$.
Dimostrare che per ogni $n in NN - {0}$ esiste $x_n in [ 0 , 1 - 1/n ]$ tale che $f(x_n) = f(x_n + 1/n)$.
Idee:
1) $x_1 = 0$ per forza.
2) Se $lim_n x_n = 1$ , allora risulta verificata (per la continuità di $f$) l'ipotesi che si abbia $f(x_n) = f(x_n + 1/n)$.
Una candidata ideale mi sembra la successione degli estremi destri dell'intervallo in cui "abita" $x_n$, cioè $1 - 1/n$. Questa successione verifica (1),(2).
Non saprei come accertarmi che la successione verifica le ipotesi.
Avrei che $y_n = f(x_n) = f( 1 - 1/n ) = "(per ipotesi)" = f(1)$. Perciò la successione $f(1 - 1/n)$ dovrebbe essere costante.
Dimostrare che per ogni $n in NN - {0}$ esiste $x_n in [ 0 , 1 - 1/n ]$ tale che $f(x_n) = f(x_n + 1/n)$.
Idee:
1) $x_1 = 0$ per forza.
2) Se $lim_n x_n = 1$ , allora risulta verificata (per la continuità di $f$) l'ipotesi che si abbia $f(x_n) = f(x_n + 1/n)$.
Una candidata ideale mi sembra la successione degli estremi destri dell'intervallo in cui "abita" $x_n$, cioè $1 - 1/n$. Questa successione verifica (1),(2).
Non saprei come accertarmi che la successione verifica le ipotesi.
Avrei che $y_n = f(x_n) = f( 1 - 1/n ) = "(per ipotesi)" = f(1)$. Perciò la successione $f(1 - 1/n)$ dovrebbe essere costante.
Risposte
A parte il caso $n=1$, non ho ben capito cos'hai fatto dopo...
Comunque, per il caso $n\ge 2$ io procederei così.
Consideriamo la funzione ausiliaria $g(x) = f(x+1/n) - f(x)$; dobbiamo dimostrare che essa ha almeno uno zero nell'intervallo $[0,1-1/n]$.
Supponiamo per assurdo che $g$ non abbia zeri in tale intervallo; essendo continua, sarà sempre strettamente positiva oppure strettamente negativa.
Abbiamo che
[tex]\sum_{k=0}^{n-1} g(k/n) = \sum_{k=0}^{n-1} [f(k/n + 1/n) - f(k/n)] = f(1) - f(0) = 0[/tex],
che è assurdo dal momento che la sommatoria a primo membro è strettamente positiva oppure strettamente negativa.
Interpretazione personale:
possiamo vedere questo teorema come la versione discreta del teorema di Rolle.
Infatti la funzione $h_n(x) = n [f(x+1/n) - f(x)]$ non è altro che il rapporto incrementale di $f$ in $x$ con passo $1/n$; se $f$ è derivabile, abbiamo che $h_n(x) \to f'(x)$ quando $n\to +\infty$.
Il risultato appena dimostrato ci dice che esiste almeno un punto in cui la "derivata discreta" di $f$ è nulla.
Comunque, per il caso $n\ge 2$ io procederei così.
Consideriamo la funzione ausiliaria $g(x) = f(x+1/n) - f(x)$; dobbiamo dimostrare che essa ha almeno uno zero nell'intervallo $[0,1-1/n]$.
Supponiamo per assurdo che $g$ non abbia zeri in tale intervallo; essendo continua, sarà sempre strettamente positiva oppure strettamente negativa.
Abbiamo che
[tex]\sum_{k=0}^{n-1} g(k/n) = \sum_{k=0}^{n-1} [f(k/n + 1/n) - f(k/n)] = f(1) - f(0) = 0[/tex],
che è assurdo dal momento che la sommatoria a primo membro è strettamente positiva oppure strettamente negativa.
Interpretazione personale:
possiamo vedere questo teorema come la versione discreta del teorema di Rolle.
Infatti la funzione $h_n(x) = n [f(x+1/n) - f(x)]$ non è altro che il rapporto incrementale di $f$ in $x$ con passo $1/n$; se $f$ è derivabile, abbiamo che $h_n(x) \to f'(x)$ quando $n\to +\infty$.
Il risultato appena dimostrato ci dice che esiste almeno un punto in cui la "derivata discreta" di $f$ è nulla.
"Rigel":
Consideriamo la funzione ausiliaria $g(x) = f(x+1/n) - f(x)$; dobbiamo dimostrare che essa ha almeno uno zero nell'intervallo $[0,1-1/n]$.
Supponiamo per assurdo che $g$ non abbia zeri in tale intervallo;
Per capire bene cosa hai fatto passando dalla condizione $f(x_n) = g(x_n + 1/n)$ (*) alla $f(x+1/n) - f(x) = 0$: se $g$ avesse un solo zero in quell'intervallo nel punto $xi$, allora per costruire la successione scriveresti $AA n >= 2 , x_n = xi$ , visto che $(x_n)_n$ deve soddisfare l'ipotesi (*)?
In altre parole scegli tu dei punti $x_n$ che soddisfano $f(x_n) = g(x_n + 1/n)$; te ne basta uno per costruire la successione, quindi supponi che non ne esista nessuno e trovi l'assurdo. Dunque ne deve esistere almeno uno, e con quello puoi costruire una successione (magari prendendo quel punto come immagine di infiniti indici). Giusto?
Non so se sono riuscito a spiegarmi.
Ehm, non ho capito molto di quello che hai scritto.
Tieni conto che devi pensare $n$ fissato.
Per capirci: se $n=5$, devi dimostrare che esiste un punto $x_5\in [0, 4/5]$ tale che $f(x_5) = f(x_5+1/5)$. E tutto ciò indipendentemente dal fatto che poi vuoi fare la stessa costruzione anche per altri valori di $n$...
Tieni conto che devi pensare $n$ fissato.
Per capirci: se $n=5$, devi dimostrare che esiste un punto $x_5\in [0, 4/5]$ tale che $f(x_5) = f(x_5+1/5)$. E tutto ciò indipendentemente dal fatto che poi vuoi fare la stessa costruzione anche per altri valori di $n$...
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