Esercizio successione per ricorrenza

[Teschio4]

Sapreste aiutarmi con questo esercizio ?

si ha la successione per ricorrenza \[a_{n+1} = a_{n} + sin(\frac{1}{a_{n}})\] con \[a_{1} > \frac{1}{\pi}\]

Dimostrare per induzione che è strettamente crescente e calcolare il limite della successione per n che va a più infinito.

Sinceramente non so come iniziare ... grazie per l'aiuto

[billyballo2123]

Dimostra innanzitutto che la successione è strettamente crescente, ovvero che $a_{n+1}>a_n$ (o meglio, $a_{n+1}-a_n>0$). Dato che
\[
a_{n+1}=a_n+\sin\frac{1}{a_n},
\]
allora
\[
a_{n+1}-a_n=\sin\frac{1}{a_n},
\]
quindi tutto si riduce a dimostrare che $\sin\frac{1}{a_n}>0$. Prova a dimostrarlo per induzione. Se non riesci a continuare scrivi dove ti blocchi.