Esercizio successione con termine generale espresso da sommatoria.
Salve, ho il seguente esercizio, sempre sulle successioni.
Sia $\xi_m={x_n(m)}_(n>=0)$ la successione che ha termine generale:
$x_n(m)=\sum_{k=0}^n (1/((k!)^m))$
1)Mostrare che la successione $\xi_m$ converge ad un numero reale $e_m$, comunque $m in NN, m>=1$.
2)Calcolare, se esiste, il limite
$lim_(n->+infty) e_m$
Ho dimostrato che la funzione è crescente, dato che
$x_(n+1)(m)>x_n(m)$
$\sum_{k=0}^(n+1) (1/((k!)^m))>\sum_{k=0}^n (1/((k!)^m))$
$\sum_{k=0}^n (1/((k!)^m))+1/(((n+1)!)^k)>\sum_{k=0}^n (1/((k!)^m))$
$1/(((n+1)!)^k)>0$
Da qui in poi non comprendo i seguenti passaggi seguenti della dimostrazione:
$x_n(m)=1+\sum_{k=1}^n (1/((k!)^m))<1+\sum_{k=1}^n(1/(2^(k-1))^m)$
perchè $k!>2^(k-1)$ ?
Come si giustifica questa disuguaglianza?
(per inciso la soluzione del limite è 2).
Sia $\xi_m={x_n(m)}_(n>=0)$ la successione che ha termine generale:
$x_n(m)=\sum_{k=0}^n (1/((k!)^m))$
1)Mostrare che la successione $\xi_m$ converge ad un numero reale $e_m$, comunque $m in NN, m>=1$.
2)Calcolare, se esiste, il limite
$lim_(n->+infty) e_m$
Ho dimostrato che la funzione è crescente, dato che
$x_(n+1)(m)>x_n(m)$
$\sum_{k=0}^(n+1) (1/((k!)^m))>\sum_{k=0}^n (1/((k!)^m))$
$\sum_{k=0}^n (1/((k!)^m))+1/(((n+1)!)^k)>\sum_{k=0}^n (1/((k!)^m))$
$1/(((n+1)!)^k)>0$
Da qui in poi non comprendo i seguenti passaggi seguenti della dimostrazione:
$x_n(m)=1+\sum_{k=1}^n (1/((k!)^m))<1+\sum_{k=1}^n(1/(2^(k-1))^m)$
perchè $k!>2^(k-1)$ ?
Come si giustifica questa disuguaglianza?
(per inciso la soluzione del limite è 2).
Risposte
Potresti provare a dimostrare quella disuguaglianza per induzione!
Grazie del suggerimento.
Per $k=0$(passo base)
$1>1/2$ (vera)
suppongo sia vera per $k=n$.
$n!>2^(n-1)$
verifico che in questa ipotesi è vera anche per il successivo $k=n+1$
$(n+1)*n!>2^n$
$1/2 *(n+1)*n!>2^(n-1)$
$n!>2^(n-1) * (2/(n+1))$
Essendo che per $n>=1 , 2/(n+1)<=1 => 2^(n+1)*(2/(n+1))<=2^(n+1)$
Di conseguenza è verificata anche al passo $n+1$.
È corretta?
Per $k=0$(passo base)
$1>1/2$ (vera)
suppongo sia vera per $k=n$.
$n!>2^(n-1)$
verifico che in questa ipotesi è vera anche per il successivo $k=n+1$
$(n+1)*n!>2^n$
$1/2 *(n+1)*n!>2^(n-1)$
$n!>2^(n-1) * (2/(n+1))$
Essendo che per $n>=1 , 2/(n+1)<=1 => 2^(n+1)*(2/(n+1))<=2^(n+1)$
Di conseguenza è verificata anche al passo $n+1$.
È corretta?
Ciao SirDanielFortesque,
Innanzitutto scriverei un $\ge $:
$ k! \ge 2^(k-1) $
perché col $ > $ se $k = 0 $ è vera, ma se $k = 1 $ è falsa...
No, non mi convince: sei partito dalla tesi invece che dall'ipotesi.
Farei semplicemente così:
Hp) $ n! >= 2^(n-1) $
Th) $ (n + 1)! \ge 2^n $
$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n! \ge (n + 1) 2^(n-1) \ge 2 \cdot 2^(n-1) = 2^n $
Poi direi che si può scrivere:
$ \lim_{n \to +\infty} x_n(m) = \lim_{n \to +\infty} [1+\sum_{k=1}^n 1/((k!)^m)] <= 1+\sum_{k=1}^{+\infty} 1/(2^(k-1))^m = 1+\sum_{k=1}^{+\infty} (1/(2^m))^{k - 1} = $
$ = 1 + \sum_{j=0}^{+\infty} (1/(2^m))^{j} = 1 + \frac{2^m}{2^m - 1} = \frac{2^{m + 1} - 1}{2^m - 1} =: e_m $
ove $m \in \NN_{>= 1} $
Quindi si ha:
$ \lim_{m \to +\infty} e_m = \lim_{m \to +\infty} \frac{2^{m + 1} - 1}{2^m - 1} = 2 $
Innanzitutto scriverei un $\ge $:
$ k! \ge 2^(k-1) $
perché col $ > $ se $k = 0 $ è vera, ma se $k = 1 $ è falsa...
"SirDanielFortesque":
È corretta?
No, non mi convince: sei partito dalla tesi invece che dall'ipotesi.
Farei semplicemente così:
Hp) $ n! >= 2^(n-1) $
Th) $ (n + 1)! \ge 2^n $
$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n! \ge (n + 1) 2^(n-1) \ge 2 \cdot 2^(n-1) = 2^n $
Poi direi che si può scrivere:
$ \lim_{n \to +\infty} x_n(m) = \lim_{n \to +\infty} [1+\sum_{k=1}^n 1/((k!)^m)] <= 1+\sum_{k=1}^{+\infty} 1/(2^(k-1))^m = 1+\sum_{k=1}^{+\infty} (1/(2^m))^{k - 1} = $
$ = 1 + \sum_{j=0}^{+\infty} (1/(2^m))^{j} = 1 + \frac{2^m}{2^m - 1} = \frac{2^{m + 1} - 1}{2^m - 1} =: e_m $
ove $m \in \NN_{>= 1} $
Quindi si ha:
$ \lim_{m \to +\infty} e_m = \lim_{m \to +\infty} \frac{2^{m + 1} - 1}{2^m - 1} = 2 $
Va bene, grazie ancora.
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