Esercizio successione

[Benz]

Ciao, mi servirebbe capire come si svolge questo tipo di esercizio perfavore, che non so come partire.

Aggiunto 1 minuto più tardi:

la richiesta sarebbe:

- Studiare il comportamento della seguente successione e calcolarne il limite.

[ciampax]

Osserviamo per prima cosa che

[math]a_{n}>0[/math]

per ogni

[math]n\ne 0[/math]

. Inoltre osserva che

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt{3+\frac{4}{a_n}}>\sqrt{3}>1[/math]

pertanto

[math]a_{n+1}>a_n[/math]

, e quindi la successione è crescente. A questo punto possiamo avere solo due casi: o la successione diverge a

[math]+\infty[/math]

oppure converge ad un limite

[math]a>0[/math]

. Supponiamo che sia vera la seconda questione: poiché

[math]\lim_{n\to+\infty} a_n=\lim_{n\to+\infty} a_{n+1}=a[/math]

possiamo scrivere

[math]a=\sqrt{3a+4}\ \Rightarrow\ a^2-3a-4=0\ \Rightarrow\ a=1,\ a=4[/math]

che sono i due possibili limiti. Tuttavia vediamo subito che

[math]a_1=\sqrt{4}=2[/math]

e visto che la successione è crescente non possiamo ottenere tale valore come limite.


Per quanto riguarda il valore

[math]a=4[/math]

dobbiamo vedere se la successione sia limitata o meno. Come facciamo? Se 4 fosse il valore del limite, allora sarebbe anche l'estremo superiore, per cui ci basta provare che [math]a_n

[Benz]

grazie ancora Ciampax!

Una domanda però, sei sicuro di questo passaggio?

non dovrebbe essere cosi?