Esercizio su zeri di una funzione (e non solo)
Dire se esiste almeno un $ x_0 < 0 $ in cui si annulli il polinomio
$ p(x)=2x^3 +3x^2 +6x +2 $
In caso affermativo determinare un intervallo di ampiezza $ 1/2 $ a cui appartiene $ x_0 $
Studiando meglio la funzione $p(x)$, dire se ci siano altri punti $ x in RR $ in cui risulta $ p(x) = 0$.
Motivando la risposta dire quante soluzioni ha l'equazione $p(x) = 0$ in tutto $RR$. Quante ne ha
l'equazione $p(x) = 5$?
La funzione $p(x)$ è invertibile?
Mio svolgimento:
Ho calcolato la derivata prima di $p(x)$ ma cercando le soluzioni del polinomio di 2° grado (una parabola) mi veniva un numero negativo sotto radice quadrata,per cui ho dedotto che non ci potevano essere soluzioni appartenenti ai numeri Reali,perciò non è possibile trovare un intervallo chiuso e limitato [a,b] per cui valga f(a)*f(b)<0 (teorema di bolzano),la stessa cosa vale anche per altri $ x in RR $,quindi l'equazione $p(x)=0$ non ha soluzioni in tutto $RR$.
E' corretto ciò che ho scritto? gli ultimi 2 punti come vanno fatti?
$ p(x)=2x^3 +3x^2 +6x +2 $
In caso affermativo determinare un intervallo di ampiezza $ 1/2 $ a cui appartiene $ x_0 $
Studiando meglio la funzione $p(x)$, dire se ci siano altri punti $ x in RR $ in cui risulta $ p(x) = 0$.
Motivando la risposta dire quante soluzioni ha l'equazione $p(x) = 0$ in tutto $RR$. Quante ne ha
l'equazione $p(x) = 5$?
La funzione $p(x)$ è invertibile?
Mio svolgimento:
Ho calcolato la derivata prima di $p(x)$ ma cercando le soluzioni del polinomio di 2° grado (una parabola) mi veniva un numero negativo sotto radice quadrata,per cui ho dedotto che non ci potevano essere soluzioni appartenenti ai numeri Reali,perciò non è possibile trovare un intervallo chiuso e limitato [a,b] per cui valga f(a)*f(b)<0 (teorema di bolzano),la stessa cosa vale anche per altri $ x in RR $,quindi l'equazione $p(x)=0$ non ha soluzioni in tutto $RR$.
E' corretto ciò che ho scritto? gli ultimi 2 punti come vanno fatti?
Risposte
"Andrew Ryan":
Dire se esiste almeno un $ x_0 < 0 $ in cui si annulli il polinomio
$ p(x)=2x^3 +3x^2 +6x +2 $
In caso affermativo determinare un intervallo di ampiezza $ 1/2 $ a cui appartiene $ x_0 $
Studiando meglio la funzione $p(x)$, dire se ci siano altri punti $ x in RR $ in cui risulta $ p(x) = 0$.
Motivando la risposta dire quante soluzioni ha l'equazione $p(x) = 0$ in tutto $RR$. Quante ne ha
l'equazione $p(x) = 5$?
La funzione $p(x)$ è invertibile?
Mio svolgimento:
Ho calcolato la derivata prima di $p(x)$ ma cercando le soluzioni del polinomio di 2° grado (una parabola) mi veniva un numero negativo sotto radice quadrata,per cui ho dedotto che non ci potevano essere soluzioni appartenenti ai numeri Reali,perciò non è possibile trovare un intervallo chiuso e limitato [a,b] per cui valga f(a)*f(b)<0 (teorema di bolzano),la stessa cosa vale anche per altri $ x in RR $,quindi l'equazione $p(x)=0$ non ha soluzioni in tutto $RR$.
E' corretto ciò che ho scritto? gli ultimi 2 punti come vanno fatti?
$d/dx (p) = 6 (x^2 + x +1)$
1. Il fatto che la derivata non si annulli mai significa che $p(x)$ è strettamente non decrescente. Ma questo non ti dice nulla sulle radici di
- $p(x) = 0$.[/list:u:11hml35e]
2. Chiederti quante sono le radici di $p(x) = 5$, è equivalente alla richiesta di prima.
3. Per l'iniettività, ti rimando a quello che dice Wiki:
In generale una funzione iniettiva non è invertibile. Si ha però che una funzione iniettiva è invertibile se e solo se è anche suriettiva, ovvero se è biiettiva. L'iniettività è quindi condizione necessaria ma non condizione sufficiente per l'invertibilità. L'inversa di una funzione iniettiva, essendo anch'essa invertibile, è iniettiva.
Una funzione iniettiva $f:X->Y$ può sempre essere resa invertibile se si rimpiazza il codominio $Y$ con l'immagine $f(X)$: in questo caso l'inversa sarà definita solamente su $f(X)$:
$f^(-1)(X): f(X) ->X$
Per verificare che $p(x)$ sia invertibile, $p$ dev'essere iniettiva. Se torni alla definizione di iniettività, e al significato grafico della derivata di una funzione capirai che se $d/dx (p) > 0$, allora $p(x)$ è invertibile.
Se hai dubbi, chiedi ancora.
"Andrew Ryan":
Dire se esiste almeno un $ x_0 < 0 $ in cui si annulli il polinomio
$ p(x)=2x^3 +3x^2 +6x +2 $
quindi l'equazione $p(x)=0$ non ha soluzioni in tutto $RR$.
Ciao Andrew,
tu dici che la nostra funzione non incontra mai l'asse delle x? Nemmeno una volta?
Proviamo a vedere cosa succede se a x sostituiamo +10
$p(+10)=+2*1000+3*100+6*10+2=2000+300+60+2=+2362$ (positivo)
ora vediamo cosa succede se sostiutiamo con -10
$p(-10)=+2*(-1000)+3*(100)+6*(-10)+2=-2000+300-60+2=-1758$ (negativo)
"giuscri":
[quote="Andrew Ryan"]Dire se esiste almeno un $ x_0 < 0 $ in cui si annulli il polinomio
$ p(x)=2x^3 +3x^2 +6x +2 $
In caso affermativo determinare un intervallo di ampiezza $ 1/2 $ a cui appartiene $ x_0 $
Studiando meglio la funzione $p(x)$, dire se ci siano altri punti $ x in RR $ in cui risulta $ p(x) = 0$.
Motivando la risposta dire quante soluzioni ha l'equazione $p(x) = 0$ in tutto $RR$. Quante ne ha
l'equazione $p(x) = 5$?
La funzione $p(x)$ è invertibile?
Mio svolgimento:
Ho calcolato la derivata prima di $p(x)$ ma cercando le soluzioni del polinomio di 2° grado (una parabola) mi veniva un numero negativo sotto radice quadrata,per cui ho dedotto che non ci potevano essere soluzioni appartenenti ai numeri Reali,perciò non è possibile trovare un intervallo chiuso e limitato [a,b] per cui valga f(a)*f(b)<0 (teorema di bolzano),la stessa cosa vale anche per altri $ x in RR $,quindi l'equazione $p(x)=0$ non ha soluzioni in tutto $RR$.
E' corretto ciò che ho scritto? gli ultimi 2 punti come vanno fatti?
$d/dx (p) = 6 (x^2 + x +1)$
1. Il fatto che la derivata non si annulli mai significa che $p(x)$ è strettamente non decrescente. Ma questo non ti dice nulla sulle radici di
- $p(x) = 0$.[/list:u:nasu2hwu]
2. Chiederti quante sono le radici di $p(x) = 5$, è equivalente alla richiesta di prima.
3. Per l'iniettività, ti rimando a quello che dice Wiki:
In generale una funzione iniettiva non è invertibile. Si ha però che una funzione iniettiva è invertibile se e solo se è anche suriettiva, ovvero se è biiettiva. L'iniettività è quindi condizione necessaria ma non condizione sufficiente per l'invertibilità. L'inversa di una funzione iniettiva, essendo anch'essa invertibile, è iniettiva.
Una funzione iniettiva $f:X->Y$ può sempre essere resa invertibile se si rimpiazza il codominio $Y$ con l'immagine $f(X)$: in questo caso l'inversa sarà definita solamente su $f(X)$:
$f^(-1)(X): f(X) ->X$
Per verificare che $p(x)$ sia invertibile, $p$ dev'essere iniettiva. Se torni alla definizione di iniettività, e al significato grafico della derivata di una funzione capirai che se $d/dx (p) > 0$, allora $p(x)$ è invertibile.
Se hai dubbi, chiedi ancora.
[/quote]$d/dx (p) > 0$ è sempre verificata,perciò la funzione è invertibile,giusto?@gio73: sono d'accordo con quello che dici infatti se l'equazione non ha soluzioni in RR non è detto che non ne abbia tra i numeri complessi
Allora Andrew, secondo te, la nostra funzione incontra l'asse delle x?
Solo una volta o di più?
Solo una volta o di più?
"gio73":considerato che è strettamente non decrescente direi una sola volta
Allora Andrew, secondo te, la nostra funzione incontra l'asse delle x?
Solo una volta o di più?
Lo penso anche io, e secondo te l'intersezione si trova nel semiasse positivo o negativo?
"Andrew Ryan":
@gio73: sono d'accordo con quello che dici infatti se l'equazione non ha soluzioni in RR non è detto che non ne abbia tra i numeri complessi
Sta attento: non è $p(x)$ che non ha radici reali, ma la sua derivata.
"gio73":negativo
Lo penso anche io, e secondo te l'intersezione si trova nel semiasse positivo o negativo?
@giuscri: si ma appunto per questo non ho un intervallo per poter verificare se è possibile applicare il teorema di bolzano
"Andrew Ryan":negativo
[quote="gio73"]Lo penso anche io, e secondo te l'intersezione si trova nel semiasse positivo o negativo?
[/quote]
Sono d'accordo con te: se incontra l'asse x una sola volta e l'asse y lo incontra già a quota +2, per forza l'intersezione con l'asse x sarà un punto del semiasse positivo giuro che pensavo negativo, non so perchè ho scritto positivo. Ora dobbiamo beccare l'intervallo che contiene il punto. Tue proposte?
"Andrew Ryan":
@giuscri: si ma appunto per questo non ho un intervallo per poter verificare se è possibile applicare il teorema di bolzano
Mi scuso se il mio intervento fa un po' di confusione di voci con quella di gio73. Però mi sembra giusto chiarire.
Faccio fatica a capire questa tua affermazione, Andrew Ryan.
Il significato "spiccio" del segno della derivata di $p$ è il crescere o il decrescere della funzione $p(x)$.
Ora,
$d/dx (p) != 0$, $\forall x \in RR$
non implica
$p(x) != 0$.
L'informazione contenuta in
$D[p(x)] > 0$
è che $p(x)$ è monotona strettamente non decrescente. Tutto quì. Questo significa che se la funzione assume valori negativi in $x_0 - \epsilon$ e positivi in $x_0 + \epsilon$ sei sicuro che per la funzione ci sia un unico valore $z \in B_(\epsilon)(x_0)$* tale che
$p(z) = 0$.
Non capisco bene quale intervallo ti manchi per applicare il teorema di Bolzano; oltretutto (è molto probabile che mi sbagli) ma rivedendo un po' in giro non mi pare che il teorema di Bolzano richieda particolari ipotesi: la tua funzione è continua su tutto il suo l'intervallo di definizione (che è $RR$).
*$B_(\epsilon)(x_0)$ è un intorno (palla) di raggio $\epsilon$, centrato in $x_0$.
Ho modificato giuscri, così non ci sono confusioni di voci.
"gio73":negativo
[quote="Andrew Ryan"][quote="gio73"]Lo penso anche io, e secondo te l'intersezione si trova nel semiasse positivo o negativo?
[/quote]
Sono d'accordo con te: se incontra l'asse x una sola volta e l'asse y lo incontra già a quota +2, per forza l'intersezione con l'asse x sarà un punto del semiasse positivo giuro che pensavo negativo, non so perchè ho scritto positivo. Ora dobbiamo beccare l'intervallo che contiene il punto. Tue proposte?[/quote]non saprei,provo a vedere quanto vale p(x) per x=0 e x=1/2? altrimenti non ne ho proprio idea
comunque,scusami se te lo dico ma ho bisogno di capirlo in tempi brevi (sempre se c'è la disponibilità di voi utenti,non pretendo nulla),mercoledì ho la prova orale di analisi
comunque,scusami se te lo dico ma ho bisogno di capirlo in tempi brevi (sempre se c'è la disponibilità di voi utenti,non pretendo nulla),mercoledì ho la prova orale di analisi
Guarda. Ti stai perdendo troppo facilmente.
non saprei,provo a vedere quanto vale p(x) per x=0 e x=1/2? altrimenti non ne ho proprio idea
L'intersezione della funzione $p(x)$ con l'asse delle ascisse avviene in un punto $z$ che non conosci bene, ma che -viste le considerazioni che hai fatto insieme a gio73- appartiene al semiasse negativo.
Primo fatto: $z \in (-\infty, 0)$.
Come fai a trovare $z$?
Tu sai che $p(z) = 0$.
Dato che la $p(x)$ è strettamente non decrescente (quindi sale senza sosta), "cresceva" prima di $z$ e "crescerà" dopo di $z$. Questo significa che i valori della funzione $p$ in punti "precedenti" a $z$ saranno minori dei valori che la funzione assume in $z$, e i valori di $p$ in punti "successivi" a $z$ saranno maggiori dei valori che la funzione assume in $z$.
Ora: dato che $p(z) = 0$, se prendi $a,b$ tale che $a < z < b$,
$\rArr p(a) < p(z) < p(b)$, via monotonia della funzione $p(x)$, cioé $p(a) < 0$ e $p(b) > 0$.
Allora basta: hai concluso. Per racchiudere $z$ ti andrai a cercare (proprio facendo i conti) un certo punto $a$ tale che $p(a) < 0$ e un certo punto $b$ tale che $p(b) > 0$. Dirai quindi che l'intersezione avviene in un punto che non puoi conoscere con precisione ma che sicuramente si trova nell'intervallo $(a,b)$.
Ti faccio qualche esempio:
$p(-5) = -206$
$p(1/2) = 6$
Quindi potresti concludere che $z \in (-5, 1/2)$.
In realtà poi osservi che
$p(-1) = -1$
Allora sarai ancora più preciso, dicendo che $z \in (-1,1/2)$*.
T'oh..!
Hai finito: l'esercizio ti chiedeva di trovare l'intervallo in cui $p$ incontra l'asse delle ascisse ampio al massimo $1/2$.Ti è più chiaro, ora?
La stessa cosa farai cercando le intersezioni con l'asse $y = 5$. Questa volta il valore discriminante non sarà lo $0$, ma il $5$ (cioé, valori inferiori a $5$ e valori superiori a $5$).
Cosa non ti è chiaro?
--------------------------------
*Sarò pedante ma:
$z \in (-1, 1/2)$ significa, proprio in slang, che in $(-1, 1/2)$ la funzione $p$ cambia di segno.
Cioé che in quell'intervallo la vedi passare dal terzo al quarto quadrante. Per passarci, dato che la funzione è continua, non può non intersecare l'asse delle ascisse. L'obiettivo è trovato un intervallo -ragionevolmente ristretto- in cui la funzione cambia segno: se è continua si annulla almeno una volta (nel tuo caso, dalla monotonia -dalla derivata strettamente positiva- puoi essere sicuro che si annulli una sola volta).
è chiaro ma mi sembra troppo a tentavi,non sto dicendo che non è corretto però visto che ci sono duecentomila teoremi pensavo che si potesse risolvere in maniera più veloce...comunque grazie dell'aiuto
"Andrew Ryan":
è chiaro ma mi sembra troppo a tentavi,non sto dicendo che non è corretto però visto che ci sono duecentomila teoremi pensavo che si potesse risolvere in maniera più veloce...comunque grazie dell'aiuto
Prego.
Stavo ripensando ad una cosa detta ieri,se la derivata prima non si annulla vuol dire che $f'(x)>0$ quindi la funzione è "crescente" e non "non decrescente",siete d'accordo?
"giuscri":
$p(-5) = -206$
$p(1/2) = 6$
Quindi potresti concludere che $z \in (-5, 1/2)$.
In realtà poi osservi che
$p(-1) = -1$
Allora sarai ancora più preciso, dicendo che $z \in (-1,1/2)$*.
T'oh..!
Scusate ma l'intervallo $(-1;+1/2)$ a me sembra ampio $3/2$ non $1/2$.
Anche io per rispondere a questa domanda sono andata per tentativi come giuscri, ragionando così: un polinomio di terzo grado si muove velocemente quindi l'intersezione con l'asse x la andrò a cercare non molto lontano da 0 e già che ci sono provo con $p(-1/2)=2(-1/8)+3*1/4+6(-1/2)+2=-1/2$ negativo, quindi se $p(0)=+2$ e $p(-1/2)=-1/2$, l'intersezione appartiene all'intervallo $(-1/2;0)$, che ne dite?
"gio73":
Scusate ma l'intervallo $(-1;+1/2)$ a me sembra ampio $3/2$ non $1/2$.
Ops!
"Andrew Ryan":
Stavo ripensando ad una cosa detta ieri,se la derivata prima non si annulla vuol dire che $f'(x)>0$ quindi la funzione è "crescente" e non "non decrescente",siete d'accordo?
Se ho capito quello che vuoi chiedere, i due termini se rifletti si riferiscono allo stesso concetto. In generale, per quanto conosco io, so che l'espressione "non decrescente" è preferibile a "crescente" dato che include anche il caso in cui la funzione pur non crescendo non decresce (una costante). "Non decrescente" o "strettamente non decrescente" indicano invece proprio quello che tu intendi per "crescente".
Ma è solo una questione di linguaggio, l'importante è che sia chiara la differenza. Per esempio, se la funzione non è strettamente non decrescente non puoi dire con la stessa facilità di prima che la funzione sia invertibile su tutto $RR$ perché perdi l'iniettività di $p(x)$.
"giuscri":
[quote="gio73"]Scusate ma l'intervallo $(-1;+1/2)$ a me sembra ampio $3/2$ non $1/2$.
Ops!
"Andrew Ryan":
Stavo ripensando ad una cosa detta ieri,se la derivata prima non si annulla vuol dire che $f'(x)>0$ quindi la funzione è "crescente" e non "non decrescente",siete d'accordo?
Se ho capito quello che vuoi chiedere, i due termini se rifletti si riferiscono allo stesso concetto. In generale, per quanto conosco io, so che l'espressione "non decrescente" è preferibile a "crescente" dato che include anche il caso in cui la funzione pur non crescendo non decresce (una costante). "Non decrescente" o "strettamente non decrescente" indicano invece proprio quello che tu intendi per "crescente".
Ma è solo una questione di linguaggio, l'importante è che sia chiara la differenza. Per esempio, se la funzione non è strettamente non decrescente non puoi dire con la stessa facilità di prima che la funzione sia invertibile su tutto $RR$ perché perdi l'iniettività di $p(x)$.[/quote]per essere non decrescente
$f'(x)>=0$ ma in questo caso la derivata prima non si annulla,perciò solo $f'(x)>0$ quindi f(x) è crescente.
"Andrew Ryan":
$f'(x)>=0$ ma in questo caso la derivata prima non si annulla,perciò solo $f'(x)>0$ quindi f(x) è crescente.
Ho guardato un po' su Wiki e non pare si parli da nessuna parte di funzioni strettamente non decrescenti. E' stata una fantasia mia. Quello che sbagliando intendevo per strettamente non decrescente equivale al tuo, corretto, strettamente crescente.
Ad ogni modo, come dicevo prima, è un questione di nomi. L'importante è che ti sia chiaro l'esercizio e in che modo sono legate iniettività e monotonia di una funzione.
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