Esercizio su un'equazione alle derivate parziali
Salve a tutti!!! Ho risolto la seguente equazione alle derivate parziali mediante il metodo delle caratteristiche:
\(\displaystyle \frac{\partial u} {\partial x} \frac{\partial u} {\partial y}=u \)
soggetta alla condizione iniziale
\(\displaystyle u(0,y)=y \).
A parer mio (cioè a meno di qualche errore di calcolo) la soluzione è
\(\displaystyle u(x,y)=y(x+1) \).
Ammesso che sia corretta tale soluzione, ha qualche significato fisico? Grazie anticipatamente!
\(\displaystyle \frac{\partial u} {\partial x} \frac{\partial u} {\partial y}=u \)
soggetta alla condizione iniziale
\(\displaystyle u(0,y)=y \).
A parer mio (cioè a meno di qualche errore di calcolo) la soluzione è
\(\displaystyle u(x,y)=y(x+1) \).
Ammesso che sia corretta tale soluzione, ha qualche significato fisico? Grazie anticipatamente!
Risposte
Lo chiedevo perchè quest'esercizio mi è stato assegnato dal mio insegnante di Fisica Matematica, quindi mi pareva strano che mi avesse assegnato un esercizio col mero scopo di imparare ad usare il metodo delle caratteristiche. Grazie mille!!!
La soluzione dell'equazione alle derivate parziali...
$u_{x}\ u_{y} = u\ ,\ u(0,y)=y$ (1)
... e' relativamente semplice se, come nel caso di classiche equazione alle derivate parziali di second'ordine [es. equazione di Laplace...], si cerca una soluzione del tipo $u(x,y)= \alpha(x)\ \beta(y)$. In tal caso...
$u_{x}= \alpha^{\ '}\ \beta\ ,\ u_{y}= \alpha\ \beta^{\ '}$
... il che porta a scrivere...
$\alpha^{\ '}\ \beta^{\ '}=1$ (2)
Un'occhiata alle condizioni al contorno porta subito alla conclusione $\beta=y$ e alla equazione dofferenziale ordinaria...
$\alpha^{\ '}=1\ , \alpha(0)=1 \implies \alpha= 1+x$ (3)
Per arrivare al 'significato fisico' dell'equazione sarebbe utile conoscere il contesto in cui e' maturata...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$u_{x}\ u_{y} = u\ ,\ u(0,y)=y$ (1)
... e' relativamente semplice se, come nel caso di classiche equazione alle derivate parziali di second'ordine [es. equazione di Laplace...], si cerca una soluzione del tipo $u(x,y)= \alpha(x)\ \beta(y)$. In tal caso...
$u_{x}= \alpha^{\ '}\ \beta\ ,\ u_{y}= \alpha\ \beta^{\ '}$
... il che porta a scrivere...
$\alpha^{\ '}\ \beta^{\ '}=1$ (2)
Un'occhiata alle condizioni al contorno porta subito alla conclusione $\beta=y$ e alla equazione dofferenziale ordinaria...
$\alpha^{\ '}=1\ , \alpha(0)=1 \implies \alpha= 1+x$ (3)
Per arrivare al 'significato fisico' dell'equazione sarebbe utile conoscere il contesto in cui e' maturata...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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