Esercizio su una successione di funzioni

[elatan1]

Ciao! Allora l' esercizio mi chiede di studiare la convergenza puntuale ed uniforme in $I=[0,+$\(\infty\)) della seguente successione di funzioni:

$f_n(x)=\{((2n+1)x/n,text{se n è pari}),(x/n,text{se n è dispari}):}$

Allora, da calcoli diretti dico che la successione delle pari, ovvero $f_(2k)(x)$ converge puntualmente alla funzione $f(x)=2x$, mentre la successione delle dispari $f_(2k+1)(x)$ converge puntualmente a $f(x)=0$, da questo posso concludere che la la successione nel complesso converge puntualmente a queste due funzioni, o no?
Poi, per quello che ho potuto verificare credo che la $f_n(x)$ non converga uniformemente. Potreste dirmi, cortesemente, se più o meno sono vicino alla soluzione corretta?

[billyballo2123]

Non puoi concludere che la funzione converga a queste due funzioni. L'unica cosa che puoi concludere è che non converge. Supponiamo che converga puntualmente, ad esempio nel punto $x=1/2$. Allora come hai detto tu, $f_{2n}(x)$ tende a $2x=1$, mentre $f_{2n+1}$ tende a zero, dunque dato $\varepsilon=1/2$, qualunque sia $n_0\in\mathbb{N}$, esisteranno sempre un $n$ e un $m$ più grandi di $n_0$ tali che $|f_n(x)-1|<\varepsilon$ e $|f_m(x)-0|<\varepsilon$, che è impossibile dato che il limite se esiste è unico.

[elatan1]

Grazie per la risposta! Tutto chiaro!