Esercizio su una serie (Analisi 1)
Ciao a tutti, l'esercizio visto a lezione consiste nel determinare il carattere della seguente serie:
$ sum_(n = 1)^oo n^n/(3^n*n!) $
Per prima cosa notiamo che $ a_n>=0 $. La serie è a termini definitivamente positivi, quindi o converge, o diverge (non può essere irregolare).
A questo punto controlliamo la condizione necessaria per la convergenza, cioè che il $ lim_(n -> oo) a_n=0 $.
Ne segue che
$ lim_(n -> oo) n^n/(3^n*n!)=0 $
Ecco, io non ho capito l'ultimo passaggio. Perché quel limite è uguale a zero? $ n^n $ non è un infinito di ordine superiore?
Grazie!
$ sum_(n = 1)^oo n^n/(3^n*n!) $
Per prima cosa notiamo che $ a_n>=0 $. La serie è a termini definitivamente positivi, quindi o converge, o diverge (non può essere irregolare).
A questo punto controlliamo la condizione necessaria per la convergenza, cioè che il $ lim_(n -> oo) a_n=0 $.
Ne segue che
$ lim_(n -> oo) n^n/(3^n*n!)=0 $
Ecco, io non ho capito l'ultimo passaggio. Perché quel limite è uguale a zero? $ n^n $ non è un infinito di ordine superiore?
Grazie!
Risposte
La potenza $n^n$ è un infinito di ordine superiore del fattoriale $n!$...
Però sotto il fattoriale è moltiplicato per un fattore $3^n$
Credo che sia proprio quel fattore a rendere quel limite uguale a 0.
Se infatti non ci fosse quella potenza $3^n$:
$ lim_(n -> oo) n^n/(n!)= oo $
Almeno credo sia così... non vorrei aver detto una cavolata
Lascio la parola agli esperti!
Però sotto il fattoriale è moltiplicato per un fattore $3^n$
Credo che sia proprio quel fattore a rendere quel limite uguale a 0.
Se infatti non ci fosse quella potenza $3^n$:
$ lim_(n -> oo) n^n/(n!)= oo $
Almeno credo sia così... non vorrei aver detto una cavolata
Lascio la parola agli esperti!
se hai dei dubbi sul risultato di quel limite, basta applicare il criterio del rapporto per successioni, ricordando che
si ha:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}\cdot (n+1)!}\cdot \frac{3^n \cdot n!}{n^n}&=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n }\cdot (n+1)}{3^{n }\cdot 3\cdot n!(n+1) }\cdot \frac{3^n \cdot n!}{n^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n } }{ 3\cdot n^n } \\
&=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{3}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =\frac{e}{3}<1\quad \Rightarrow\quad L=0.
\end{align}
Sia $a_n$ una successione a termini positivi. Se la successione $a_{n+1}/a_n$ converge ad un limite $L <1
$ allora la successione $a_n$ e strettamente decrescente e converge a zero. Se $L >1$ allora la successione e strettamente crescente e diverge a $+\infty.$ Se infine $L =1$ non si puo dire niente.
si ha:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}\cdot (n+1)!}\cdot \frac{3^n \cdot n!}{n^n}&=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n }\cdot (n+1)}{3^{n }\cdot 3\cdot n!(n+1) }\cdot \frac{3^n \cdot n!}{n^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{n } }{ 3\cdot n^n } \\
&=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{3}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =\frac{e}{3}<1\quad \Rightarrow\quad L=0.
\end{align}
Capito, grazie mille
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