Esercizio su una funzione integrale

[pietrodig]

Ciao ragazzi, volevo proporvi un esercizio su una funzione integrale.
Data la funzione integrale $F(x) = \int_{0}^{e^x} t/(t-2)dt$, dire quando essa è continua, derivabile, monotona, convessa o concava.
Ecco la mia risoluzione.
la funzione integranda $t/(t-2)$ è continua per $t!=2$ ovvero in $(-\infty,2) U (2, +\oo)$, pertanto per il Secondo Teorema del Calcolo Integrale $F(x)$ è derivabile in tale intervallo (e per un noto teorema anche continua).
Risulta: $F'(x)=f(gx)*g'(x)=(e^(2x))/(e^x -2)$
Studiando il segno della derivata prima notiamo che $F(x)$ è crescente in $(ln 2, +\oo)$ e descrescente in $(-\oo, ln 2)$.
Ora notiamo che $F''(x) = (2e^x - e^x)/((e^x-2)^2)=(e^x(2e^x-1))/((e^x-2)^2)$ e studiandone il segno notiamo che per $x>ln (1/2)$ è convessa e per $x
Che ne pensate ? Ho commesso degli errori ?

[Principe2]

Attento che quando passi dalla funzione integranda alla $F$ ti chiamano gli insiemi di definizione. Quindi $F$ non e' continua in quell'intervallo, ma... in quale?

P.s. nella definizione di $F$ ovviamente non c'e' il $dx$.

[pietrodig]

Ovviamente il dx era un errore di battitura.
Dunque, il ragionamento dovrebbe essere questo: $t != 2$ equivale a considerare l'intervallo $(-\oo,2) U (2, \oo+)$ ed essendo l'estremo inferiore di integrazione appartenente a $(-\oo, 2)$ deve essere $e^x in (-oo,2)$ e occorre risolvere la disequazione $e^x < 2$ che dà come risultato $x

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[Principe2]

questo e' un fenomeno un po' strano, in qanto formalmente puoi integrare anche dopo $ln2$ e ti viene continua..

[pietrodig]

ok allora integrando viene $e^x + ln|e^x-2|$ che ha come dominio $RR$ tranne al più il valore che annulla il modulo. Ma quando l'integrale non è facile da risolvere come in questo caso come faccio a stabilire quando la funzione integrale è continua ?

[Principe2]

avevi detto bene all'inizio: laddove e' derivabile e' sicuramente anche continua. Devi solo ricordarti di cambiare variabile. Avevi trovato, nella variabile $t$ gli intervalli $(-\infty,2)$ e $(2,\infty)$. Bene, ora ricordati che $t=e^x$ e quindi quegli intervalli (siccome $e^x$ e' monotona) diventano $(-\infty,ln2)$ e $(ln2,\infty)$ che sono gli intervalli di derivabilita' e quindi di continuita' della funzione iniziale. Ora, volendo, ti puoi divertire a studiare cosa succede nel punto $ln2$ facendo i due limiti.