Esercizio su una classe di spazi di successioni
Salve a tutti, vi chiedo di darmi una mano a vedere quanti errori sono riuscito a fare nello svolgere l'esercizio seguente. 
(Sia $ZZ_N$ come al solito ${0,1,...,N-1}\approx ZZ// N \ ZZ $.)
Consideriamo il seguente spazio topologico:
$ZZ_N^{ZZ}={\omega=(....,\omega_{-1},\omega_{0},\omega_{1},.....), \omega_j \in ZZ_N, j \in ZZ}$
e in modo analogo lo spazio topologico:
$ZZ_N^{NN}={\omega=(\omega_{0},\omega_{1},.....), \omega_j \in ZZ_N, j \in NN}$,
dove (per ciascuno dei due) la topologia è data dalla topologia prodotto, cioè $ZZ_N^{ZZ}$ (analogamente per $ZZ_N^{NN}$) è dotato della topologia generata dai cilindri elementari:
$C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n_1,...,n_k}={\omega \in ZZ_N^{ZZ} | \omega_{n_i}=\alpha_i , \forall i=1,...,k, \alpha_i \in ZZ_N, n_i \in ZZ }$.
La topologia di $Z_N^{ZZ}$ (discorso analogo per $ZZ_N^{NN}$) è, inoltre, generata da una famiglia più piccola, ovvero:
$C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k}={\omega \in ZZ_N^{ZZ} | \omega_n=\alpha_1,\omega_{n+1}=\alpha_2,...,\omega_{n+k-1}=\alpha_k }$, con $k \in NN$ e $n \in ZZ$ (per $ZZ_N^{NN}$, $n \in NN$).
Dobbiamo verificare che la topologia di $ZZ_N^{ZZ}$ (discorso analogo per $ZZ_N^{NN}$) è indotta dalla seguente metrica.
Fissato un qualunque $\lambda >1$, la distanza è data da $d_\lambda (\omega, \omega')=\sum_{p \in ZZ} (|\omega_p - \omega'_p|)/(\lambda^|p|)$.
Per provare ciò è sufficiente mostrare che gli aperti $C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k}$ della base della topologia sopra descritti sono effettivamente anche aperti secondo la metrica suddetta.
E', dunque, sufficiente mostrare che, se $\omega \in C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k}$, allora esiste $\epsilon > 0$ tale che $B(\omega, \epsilon) \sube C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k} $, ovvero che, se $\gamma \in B(\omega, \epsilon) $, allora $\gamma \in C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k}$, cioè $\gamma_n=\alpha_1,\gamma_{n+1}=\alpha_2,...,\gamma_{n+k-1}=\alpha_k $.
Mostriamo che ciò è effettivamente vero per $\epsilon=1/{2 k \lambda}$.
Sia $\gamma \in B(\omega, 1/(2k \lambda)) $; allora (*) $d_{\lambda}(\gamma, \omega)=\sum_{p \in ZZ} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)=\sum_{p = -oo}^{n-1} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)+\sum_{p =n}^{n+k-1} (|\gamma_p - \alpha_p|)/(\lambda^|p|)+\sum_{p = n+k}^{+oo} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)<=1/(2 k \lambda)$.
Quindi $1/(k \lambda) \sum_{p =n}^{n+k-1} |\gamma_p - \alpha_p| <=\sum_{p =n}^{n+k-1} (|\gamma_p - \alpha_p|)/(\lambda^|p|)<=\sum_{p = -oo}^{n-1} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)+\sum_{p =n}^{n+k-1} (|\gamma_p - \alpha_p|)/(\lambda^|p|)+\sum_{p = n+k}^{+oo} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)<=1/(2 k \lambda)$; in definitiva:
$1/(k \lambda) \sum_{p =n}^{n+k-1} |\gamma_p - \alpha_p| <=1/(2 k \lambda)$, cioè:
$ \sum_{p =n}^{n+k-1} |\gamma_p - \alpha_p| <=1/ 2 $
e ciò implica che $\gamma_n=\alpha_1,\gamma_{n+1}=\alpha_2,\gamma_{n+k-1}=\alpha_k $, come si voleva.
(*) chiaro che si può fare la stessa cosa per $ZZ_N^{NN}$ sostituendo in pratica $\sum_{p \in NN}$ a $\sum_{p \in ZZ}$.
Mi sembra, però troppo semplice, anche perchè l'esercizio richiedeva di mostrare questo risultato solo per $\lambda>$$>1$.
Grazie in anticipo per le risposte (sperando di non aver scritto troppe corbellerie...).
P.S.: E' la sezione giusta? Nel caso mi scuso.
(Sia $ZZ_N$ come al solito ${0,1,...,N-1}\approx ZZ// N \ ZZ $.)
Consideriamo il seguente spazio topologico:
$ZZ_N^{ZZ}={\omega=(....,\omega_{-1},\omega_{0},\omega_{1},.....), \omega_j \in ZZ_N, j \in ZZ}$
e in modo analogo lo spazio topologico:
$ZZ_N^{NN}={\omega=(\omega_{0},\omega_{1},.....), \omega_j \in ZZ_N, j \in NN}$,
dove (per ciascuno dei due) la topologia è data dalla topologia prodotto, cioè $ZZ_N^{ZZ}$ (analogamente per $ZZ_N^{NN}$) è dotato della topologia generata dai cilindri elementari:
$C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n_1,...,n_k}={\omega \in ZZ_N^{ZZ} | \omega_{n_i}=\alpha_i , \forall i=1,...,k, \alpha_i \in ZZ_N, n_i \in ZZ }$.
La topologia di $Z_N^{ZZ}$ (discorso analogo per $ZZ_N^{NN}$) è, inoltre, generata da una famiglia più piccola, ovvero:
$C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k}={\omega \in ZZ_N^{ZZ} | \omega_n=\alpha_1,\omega_{n+1}=\alpha_2,...,\omega_{n+k-1}=\alpha_k }$, con $k \in NN$ e $n \in ZZ$ (per $ZZ_N^{NN}$, $n \in NN$).
Dobbiamo verificare che la topologia di $ZZ_N^{ZZ}$ (discorso analogo per $ZZ_N^{NN}$) è indotta dalla seguente metrica.
Fissato un qualunque $\lambda >1$, la distanza è data da $d_\lambda (\omega, \omega')=\sum_{p \in ZZ} (|\omega_p - \omega'_p|)/(\lambda^|p|)$.
Per provare ciò è sufficiente mostrare che gli aperti $C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k}$ della base della topologia sopra descritti sono effettivamente anche aperti secondo la metrica suddetta.
E', dunque, sufficiente mostrare che, se $\omega \in C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k}$, allora esiste $\epsilon > 0$ tale che $B(\omega, \epsilon) \sube C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k} $, ovvero che, se $\gamma \in B(\omega, \epsilon) $, allora $\gamma \in C_{\alpha_1,...,\alpha_k}^{n, k}$, cioè $\gamma_n=\alpha_1,\gamma_{n+1}=\alpha_2,...,\gamma_{n+k-1}=\alpha_k $.
Mostriamo che ciò è effettivamente vero per $\epsilon=1/{2 k \lambda}$.
Sia $\gamma \in B(\omega, 1/(2k \lambda)) $; allora (*) $d_{\lambda}(\gamma, \omega)=\sum_{p \in ZZ} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)=\sum_{p = -oo}^{n-1} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)+\sum_{p =n}^{n+k-1} (|\gamma_p - \alpha_p|)/(\lambda^|p|)+\sum_{p = n+k}^{+oo} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)<=1/(2 k \lambda)$.
Quindi $1/(k \lambda) \sum_{p =n}^{n+k-1} |\gamma_p - \alpha_p| <=\sum_{p =n}^{n+k-1} (|\gamma_p - \alpha_p|)/(\lambda^|p|)<=\sum_{p = -oo}^{n-1} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)+\sum_{p =n}^{n+k-1} (|\gamma_p - \alpha_p|)/(\lambda^|p|)+\sum_{p = n+k}^{+oo} (|\gamma_p - \omega_p|)/(\lambda^|p|)<=1/(2 k \lambda)$; in definitiva:
$1/(k \lambda) \sum_{p =n}^{n+k-1} |\gamma_p - \alpha_p| <=1/(2 k \lambda)$, cioè:
$ \sum_{p =n}^{n+k-1} |\gamma_p - \alpha_p| <=1/ 2 $
e ciò implica che $\gamma_n=\alpha_1,\gamma_{n+1}=\alpha_2,\gamma_{n+k-1}=\alpha_k $, come si voleva.
(*) chiaro che si può fare la stessa cosa per $ZZ_N^{NN}$ sostituendo in pratica $\sum_{p \in NN}$ a $\sum_{p \in ZZ}$.
Mi sembra, però troppo semplice, anche perchè l'esercizio richiedeva di mostrare questo risultato solo per $\lambda>$$>1$.
Grazie in anticipo per le risposte (sperando di non aver scritto troppe corbellerie...).
P.S.: E' la sezione giusta? Nel caso mi scuso.
Risposte
Nulla? 
Io provo a upparlo ancora, scusate l'insistenza (comunque è l'ultimo tentativo che faccio... 
).
).
Uppa pure. Anzi, grazie per rispettare i termini.
Magari potresti provare a renderlo più accattivante. Magari a spezzarlo a pezzettini più facili da digerire.
Magari potresti provare a renderlo più accattivante. Magari a spezzarlo a pezzettini più facili da digerire.
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