Esercizio su un limite che non so proprio fare
Ciao, sto cercando aiuto per un esercizio sul quale sono fermo da diverso tempo.
E' data la funzione f(x)=log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2)
e si richiede di:
a) calcolare lim x->0 f(x)/x^4
b) determinare due parametri c nei reali e d nei naturali tali che g(x)=f(x)+cx^d abbia ordine di infinitesimo maggiore o uguale a 4.
Inutile dire che ho provato in tutti i modi, l'ultima cosa che ho provato è stata impostare y=2x^2-x così da sviluppare il logaritmo con taylor, però mi ritrovo un problema nell'invertire la funzione ed esplicitare in favore di x.
Ci ho perso davvero molto ma non riesco a sbrigarmela da solo, ed eccomi qui non riuscendo a fare nessuno dei punt a e b richiesti.
Spero in un aiuto e vi ringrazio in anticipo.
E' data la funzione f(x)=log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2)
e si richiede di:
a) calcolare lim x->0 f(x)/x^4
b) determinare due parametri c nei reali e d nei naturali tali che g(x)=f(x)+cx^d abbia ordine di infinitesimo maggiore o uguale a 4.
Inutile dire che ho provato in tutti i modi, l'ultima cosa che ho provato è stata impostare y=2x^2-x così da sviluppare il logaritmo con taylor, però mi ritrovo un problema nell'invertire la funzione ed esplicitare in favore di x.
Ci ho perso davvero molto ma non riesco a sbrigarmela da solo, ed eccomi qui non riuscendo a fare nessuno dei punt a e b richiesti.
Spero in un aiuto e vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao smarittimo,
Benvenuto sul forum!
La funzione proposta è la seguente:
$ f(x) = log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2) $
Ti faccio notare che ho semplicemente fatto un copia-incolla di quella che hai scritto tu e l'ho racchiusa fra due simboli di dollaro...
Concentriamoci sulla domanda a). Trascurando gli $o$ si ha:
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2)}{x^4} = $
$ = \lim_{x \to 0} \frac{- x + 3/2 x^2 + 5/3 x^3 - x^4/4 + x-3/2 x^2}{x^4} = $
$ = \lim_{x \to 0} \frac{5/3 x^3 - x^4/4}{x^4} = \lim_{x \to 0} (5/(3 x) - 1/4) $
Ne consegue che il limite richiesto non esiste. Imvece si ha:
$\lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{f(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2)}{x^4} = \lim_{x \to 0^{\pm}} (5/(3 x) - 1/4) = \pm\infty $
con ovvio significato dei simboli.
Benvenuto sul forum!
La funzione proposta è la seguente:
$ f(x) = log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2) $
$ f(x) = log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2) $
Ti faccio notare che ho semplicemente fatto un copia-incolla di quella che hai scritto tu e l'ho racchiusa fra due simboli di dollaro...
Concentriamoci sulla domanda a). Trascurando gli $o$ si ha:
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2)}{x^4} = $
$ = \lim_{x \to 0} \frac{- x + 3/2 x^2 + 5/3 x^3 - x^4/4 + x-3/2 x^2}{x^4} = $
$ = \lim_{x \to 0} \frac{5/3 x^3 - x^4/4}{x^4} = \lim_{x \to 0} (5/(3 x) - 1/4) $
Ne consegue che il limite richiesto non esiste. Imvece si ha:
$\lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{f(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{log(1+2x^2-x)+x-(3/2)sin(x^2)}{x^4} = \lim_{x \to 0^{\pm}} (5/(3 x) - 1/4) = \pm\infty $
con ovvio significato dei simboli.
Grazie per la risposta.
Mi sembra di aver capito che hai sviluppato al 3 ordine il logaritmo, poi hai sviluppato al primo ordine sinx arrivando ad avere $3/2x^2$ originando da $sin^2x$
Tuttavia non mi torna quel $-x^4/4$ al secondo passaggio, non capisco da dove salti fuori.
Mentre per il punto b come potrei fare, anche qui zero idee
Mi sembra di aver capito che hai sviluppato al 3 ordine il logaritmo, poi hai sviluppato al primo ordine sinx arrivando ad avere $3/2x^2$ originando da $sin^2x$
Tuttavia non mi torna quel $-x^4/4$ al secondo passaggio, non capisco da dove salti fuori.
Mentre per il punto b come potrei fare, anche qui zero idee
"smarittimo":Un minimo di intuito mi sembra doverso nei confronti del rispetto: non ha sviluppato al terzo ordine, ma fino al quarto. Piuttosto evidente visto che un termine di quarto grado non può derivare dallo sviluppo in serie di Taylor di \(x\) o di \(\sin{x^2}\).
Tuttavia non mi torna quel $-x^4/4$ al secondo passaggio, non capisco da dove salti fuori.
"smarittimo":Intende "ordine di infinitesimo maggiore" rispetto a cosa?
Mentre per il punto b come potrei fare, anche qui zero idee
"smarittimo":
b) determinare due parametri c nei reali e d nei naturali tali che g(x)=f(x)+cx^d abbia ordine di infinitesimo maggiore o uguale a d.
Mah, la butto lì, ma secondo me $g(x) = f(x) - 5/3 x^3 $ (cioè $c = -5/3 $ e $ d = 3 $) in modo che si abbia
$ \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 5/3 x^3}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{- x + 3/2 x^2 + 5/3 x^3 - x^4/4 + x-3/2 x^2 - 5/3 x^3}{x^4} = - 1/4 $
Grazie per la risposta.
Premetto che non era assolutamente mia intenzione far trasparire una mancanza di rispetto a chi mi sta aiutando (per cui semmai nutro gratitudine), mi scuso se le mie domande hanno infastidito per la loro semplicità. Io ci sto mettendo davvero impegno, posso garatirvelo -se vi fidate-, purtroppo non tutti siamo dotati alla pari e c'è chi per cose semplici fatica il doppio. Leggasi tra le righe che sono uno di quelli
Ripeto, mi scuso, ma più che cospargermi il capo di cenere non saprei che fare. Spero ci crediate.
Tornando al problema:
a)
avevo sbagliato a far la derivata quarta e quindi non mi si semplificava il 6 con 24. Diciamo che quello che mi ha scombussolato è il fatto che mancassero gli o piccoli e non mi ero accorto che in realtà il seno era stato sviluppato fino al 5 ordine che era stato mangiato dall'o piccolo di 4 dello sviluppo del logaritmo. Mi ero focalizzato sul pensare che il seno fosse al 2 ordine e mi ha sviato, non avevo mai fatto esercizi del genere. Ti ringrazio per lo svolgimento dettagliato @pilloeffe
b)
Mea culpa, ho corretto. Era 4.
Grazie ancora a voi.
Edit:
@pilloeffe, scusa mi hai anticipato nel messaggio.
Premetto che non era assolutamente mia intenzione far trasparire una mancanza di rispetto a chi mi sta aiutando (per cui semmai nutro gratitudine), mi scuso se le mie domande hanno infastidito per la loro semplicità. Io ci sto mettendo davvero impegno, posso garatirvelo -se vi fidate-, purtroppo non tutti siamo dotati alla pari e c'è chi per cose semplici fatica il doppio. Leggasi tra le righe che sono uno di quelli
Ripeto, mi scuso, ma più che cospargermi il capo di cenere non saprei che fare. Spero ci crediate.
Tornando al problema:
a)
avevo sbagliato a far la derivata quarta e quindi non mi si semplificava il 6 con 24. Diciamo che quello che mi ha scombussolato è il fatto che mancassero gli o piccoli e non mi ero accorto che in realtà il seno era stato sviluppato fino al 5 ordine che era stato mangiato dall'o piccolo di 4 dello sviluppo del logaritmo. Mi ero focalizzato sul pensare che il seno fosse al 2 ordine e mi ha sviato, non avevo mai fatto esercizi del genere. Ti ringrazio per lo svolgimento dettagliato @pilloeffe
b)
"seb":
"ordine di infinitesimo maggiore" rispetto a cosa?
Mea culpa, ho corretto. Era 4.
Grazie ancora a voi.
Edit:
@pilloeffe, scusa mi hai anticipato nel messaggio.
Forse dopo il tuo suggerimento @pilloeffe farei così:
Essendo $f(x)=-x+3/2x^2+5/3x^3-x^4/4+x-3/2x^2-5/3x^3$
Edessendo la parte principale il primo termine non nullo dello sviluppo di Taylor di una generica $h(x)=K(x-x_0)^m$, l'intero m è invece l'ordine di infinitesimo della funzione.
La dispensa è di trovare un ordine di infinitesimo =4 sommando a f(x) la quantità $cx^d$
E ciò si ha per $c=-5/3, d=3$
infatti $g(x)=f(x)-5/3x^3=-x^4/4$
Sero sia giuto.
Essendo $f(x)=-x+3/2x^2+5/3x^3-x^4/4+x-3/2x^2-5/3x^3$
Edessendo la parte principale il primo termine non nullo dello sviluppo di Taylor di una generica $h(x)=K(x-x_0)^m$, l'intero m è invece l'ordine di infinitesimo della funzione.
La dispensa è di trovare un ordine di infinitesimo =4 sommando a f(x) la quantità $cx^d$
E ciò si ha per $c=-5/3, d=3$
infatti $g(x)=f(x)-5/3x^3=-x^4/4$
Sero sia giuto
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