Esercizio su un limite
Ciao a tutti 
Dovrei risolvere il seguente limite
$ lim_(x -> 1) (lnxsinx)/(e^xsinpix) $
La tecnica per De l'Hospital ormai l'ho imparata e così a prima vista non mi sembra nemmeno la soluzione migliore con questo limite, quindi preferirei altre modalità di risoluzione. So che con opportune modifiche si potrebbe risolvere applicando i vari limiti notevoli, ma sembra abbastanza complicato anche in questo caso.
Credo si possa risolvere con Taylor, e avendolo appena studiato potrebbe essermi più utile risolverlo in questo modo. Ho provato allora a sostituire le varie funzioni con gli opportuni sviluppi polinomiali, ma il risultato del limite è $ -sin(1)/(pie) $, e non capisco come io possa ottenere $ sin(1) $ a numeratore scrivendo i vari sviluppi di Taylor...
A numeratore infatti ho scritto, fermandomi al terzo ordine di sviluppo:
$ [(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3](x-x^3/6) $
Che sviluppando viene:
$ x^4-4x^3+3x^2-2x $
Dove sbaglio? È la prima volta che applico Taylor quindi non so proprio come muovermi...
Grazie!
Dovrei risolvere il seguente limite
$ lim_(x -> 1) (lnxsinx)/(e^xsinpix) $
La tecnica per De l'Hospital ormai l'ho imparata e così a prima vista non mi sembra nemmeno la soluzione migliore con questo limite, quindi preferirei altre modalità di risoluzione. So che con opportune modifiche si potrebbe risolvere applicando i vari limiti notevoli, ma sembra abbastanza complicato anche in questo caso.
Credo si possa risolvere con Taylor, e avendolo appena studiato potrebbe essermi più utile risolverlo in questo modo. Ho provato allora a sostituire le varie funzioni con gli opportuni sviluppi polinomiali, ma il risultato del limite è $ -sin(1)/(pie) $, e non capisco come io possa ottenere $ sin(1) $ a numeratore scrivendo i vari sviluppi di Taylor...
A numeratore infatti ho scritto, fermandomi al terzo ordine di sviluppo:
$ [(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3](x-x^3/6) $
Che sviluppando viene:
$ x^4-4x^3+3x^2-2x $
Dove sbaglio?
È la prima volta che applico Taylor quindi non so proprio come muovermi...Grazie!
Risposte
Allora...
Facciamo il cambio $x=y+1$ così che il limite diventa
$\lim_{y \rightarrow 0}\frac{\ln(y+1)\sin(y+1)}{e^{y+1}\sin(\pi(y+1))}$
Ora $\sin(\pi x)=\sin(\pi(y+1))=\sin(\pi y+\pi)=-\sin(\pi y)~ -\pi y$, stessa cosa $\ln(y+1) ~ y$, dunque
$\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y\sin(y+1)}{e^{y+1}(-\piy)}=\lim \frac{sin(y+1)}{-\pi e^{y+1}}=\frac{\sin(1)}{-\pi e}$
Facciamo il cambio $x=y+1$ così che il limite diventa
$\lim_{y \rightarrow 0}\frac{\ln(y+1)\sin(y+1)}{e^{y+1}\sin(\pi(y+1))}$
Ora $\sin(\pi x)=\sin(\pi(y+1))=\sin(\pi y+\pi)=-\sin(\pi y)~ -\pi y$, stessa cosa $\ln(y+1) ~ y$, dunque
$\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y\sin(y+1)}{e^{y+1}(-\piy)}=\lim \frac{sin(y+1)}{-\pi e^{y+1}}=\frac{\sin(1)}{-\pi e}$
Grazie mille per la risposta! Tutto chiaro! Non avevo pensato alla sostituzione y = x -1...
Per quanto riguarda invece la mia risoluzione con Taylor cosa non va? Forse è un limite non risolvibile con Taylor? Non so, magari per le moltiplicazioni, in effetti ho sempre visto applicare Taylor con somme che portassero poi i vari termini degli sviluppi ad annullarsi uno ad uno... Oppure ho sbagliato io qualcosa?
Per quanto riguarda invece la mia risoluzione con Taylor cosa non va? Forse è un limite non risolvibile con Taylor? Non so, magari per le moltiplicazioni, in effetti ho sempre visto applicare Taylor con somme che portassero poi i vari termini degli sviluppi ad annullarsi uno ad uno... Oppure ho sbagliato io qualcosa?
Prova con Taylor e prova a sviluppare in un intorno di $x=1$
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