Esercizio su un dominio
Ciao a tutti, ho questo esercizio:
Premesso che non cosa cosa si intenda con informazioni rapidamente ottenibili, io l'ho svolto così, ma non sono sicuro, quindi vi chiedo il favore di darci un'occhiatina...
Il logaritmo ci impone di considerare solo il semiasse positivo $RR^+$ dovendo essere $x>0$. L'altra condizione da imporre è che il radicando sia non negativo, ovvero \[\log x -2x^2+7x+\alpha \ge 0\] Questa equazione è evidentemente impossibile da risolvere con mezzi algebrici; d'altra parte, poste $f(x)=logx$ e $g(x)=x^2-7/2x-(alpha)/2$, affinché sia soddisfatta la richiesta dell'esercizio è sufficiente che al punto di ascissa $x_0$ di intersezione tra le due curve il logaritmo abbia ordinata maggiore della parabola. Questo dipende dal fatto che la disequazione è soddisfatta per l'intervallo $I$ in cui il grafico del logaritmo sta sopra quello della funzione $g(x)$. La condizione per trovare il punto di tangenza $x_0$ è la seguente: \[f'(x_0)=g'(x_0)\rightarrow \displaystyle\frac{1}{x_0}=2x_0-\displaystyle\frac{7}{2}\] da cui $x_0=7/4$ (valore poco sorprendente perché corrisponde al vertice della parabola, ci si poteva arrivare in fretta calcolando $-b/(2a)$). Per quanto detto sopra bisogna studiare $f(7/4)>=g(7/4)$; tale disequazione è soddisfatta se e solo se $alpha>=-49/2-4log(7/4)$.
Ora credo che questo basti a concludere l'esercizio, ma il valore strano di $alpha$ che ho trovato mi fa venire dei dubbi. Cosa ne pensate?
Stabilire per quali valori del parametro $alphainRR$ l'insieme di definizione di\[\sqrt{\log x -2x^2+7x+\alpha}\] è non vuoto. Per tali valori, fornire alcune informazioni rapidamente ottenibili sull'insieme di definizioni.
Premesso che non cosa cosa si intenda con informazioni rapidamente ottenibili, io l'ho svolto così, ma non sono sicuro, quindi vi chiedo il favore di darci un'occhiatina...
Il logaritmo ci impone di considerare solo il semiasse positivo $RR^+$ dovendo essere $x>0$. L'altra condizione da imporre è che il radicando sia non negativo, ovvero \[\log x -2x^2+7x+\alpha \ge 0\] Questa equazione è evidentemente impossibile da risolvere con mezzi algebrici; d'altra parte, poste $f(x)=logx$ e $g(x)=x^2-7/2x-(alpha)/2$, affinché sia soddisfatta la richiesta dell'esercizio è sufficiente che al punto di ascissa $x_0$ di intersezione tra le due curve il logaritmo abbia ordinata maggiore della parabola. Questo dipende dal fatto che la disequazione è soddisfatta per l'intervallo $I$ in cui il grafico del logaritmo sta sopra quello della funzione $g(x)$. La condizione per trovare il punto di tangenza $x_0$ è la seguente: \[f'(x_0)=g'(x_0)\rightarrow \displaystyle\frac{1}{x_0}=2x_0-\displaystyle\frac{7}{2}\] da cui $x_0=7/4$ (valore poco sorprendente perché corrisponde al vertice della parabola, ci si poteva arrivare in fretta calcolando $-b/(2a)$). Per quanto detto sopra bisogna studiare $f(7/4)>=g(7/4)$; tale disequazione è soddisfatta se e solo se $alpha>=-49/2-4log(7/4)$.
Ora credo che questo basti a concludere l'esercizio, ma il valore strano di $alpha$ che ho trovato mi fa venire dei dubbi. Cosa ne pensate?
Risposte
La condizione $\log x -2x^2+7x+\alpha \ge 0$ equivale a $\log x \ge 2x^2-7x-\alpha $; la prima la sai disegnare, la seconda è un fascio di parabole parallele. A questo punto è sufficiente uno studio di funzione a vedere che l'intersezione tra le due curve è fatta da al più due punti. Nell'intervallo tra i due punti, la disequazione non è vera. C'è poi un valore specifico di $\alpha$ per cui questi due punti coincidono, e da quel punto in poi non ci sono più soluzioni.
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