Esercizio su traformata di Fourier
Ciao a tutti, sono nuovissimo del forum e vi scrivi per chiedervi un aiuto su un esercizio della trasformata di Fourier. Spero vogliate aiutarmi.
Allora l'esercizio è:
Data $f: RR^2 \to RR$ , $f(x,y)=e^(x^2+y^2)$ Determinare $\hat f (\xi , \eta)$
Allora io so che $hat f (\xi , \eta)=\int int e^(-i<(x,y);(\xi , \eta)>)*f(x,y) dxdy$ con integrale su tutto $RR^2$ .Ora andando a porre f(x,y) dentro l'integrale non riesco a trovare il modo di risolverlo. Immagino si debbano sostituire le variabili e poi usare il metodo dei residui, ma non riesco a trovare nessuna strada. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Davide
Allora l'esercizio è:
Data $f: RR^2 \to RR$ , $f(x,y)=e^(x^2+y^2)$ Determinare $\hat f (\xi , \eta)$
Allora io so che $hat f (\xi , \eta)=\int int e^(-i<(x,y);(\xi , \eta)>)*f(x,y) dxdy$ con integrale su tutto $RR^2$ .Ora andando a porre f(x,y) dentro l'integrale non riesco a trovare il modo di risolverlo. Immagino si debbano sostituire le variabili e poi usare il metodo dei residui, ma non riesco a trovare nessuna strada. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Davide
Risposte
"Phasol":
Ciao a tutti, sono nuovissimo del forum e vi scrivi per chiedervi un aiuto su un esercizio della trasformata di Fourier. Spero vogliate aiutarmi.
Allora l'esercizio è:
Data $f: RR^2 \to RR$ , $f(x,y)=e^(x^2+y^2)$ Determinare $\hat f (\xi , \eta)$
Allora io so che $hat f (\xi , \eta)=\int int e^(-i<(x,y);(\xi , \eta)>)*f(x,y) dxdy$ con integrale su tutto $RR^2$ .Ora andando a porre f(x,y) dentro l'integrale non riesco a trovare il modo di risolverlo. Immagino si debbano sostituire le variabili e poi usare il metodo dei residui, ma non riesco a trovare nessuna strada. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Davide
Se non sbaglio, la trasformata bi-dimensionale è definita come:
$F(\xi,\eta)=int int_(RR^2) f(x,y) e^(-i(xi x+eta y)) dx dy$.
Nel caso specifico:
$F(\xi,\eta)=int int_(RR^2) e^(x^2)*e^(y^2) e^(-i(xi x)) e^(-i(eta y)) dx dy$
Ora, non si può scomporre come prodotto delle due trasformate?
Sì certo infatti mi sembra che si dobbano risolvere i seguenti due integrali:
$ \int e^(x^2-ix\xi) dx $
$ \int e^(y^2-iy\eta) dy $
ma come si svolgono?
$ \int e^(x^2-ix\xi) dx $
$ \int e^(y^2-iy\eta) dy $
ma come si svolgono?
"Phasol":
Sì certo infatti mi sembra che si dobbano risolvere i seguenti due integrali:
$ \int e^(x^2-ix\xi) dx $
$ \int e^(y^2-iy\eta) dy $
ma come si svolgono?
Sinceramente non credo esista una trasformata di fourier per queste funzioni dato che non sono nemmeno infinitesime all'infinito...
Certamente $f(x,y) !in L^1(RR^2) $ e quindi la trasformata di Fourier non esiste; se però fosse $f(x,y)= e^(-(x^2+y^2))$ allora la trasformata di Fourier dovrebbe esistere, vero ? e come sarebbe ?
ragazzi le vostre risposte mi hanno fatto venire dei dubbi ed effettivamente mi sono sbagliato (scusatemi) perchè è $ f(x,y)=e^(-2*(x^2+y^2))$
allora separando le variabili mi viene:
$\int_RR e^(-2x^2-ix \xi) dx$ poi cambio variabile ponendo $t=2x^2+ix\xi$ quindi l'integrale diventa: $\int_RR \frac{e^(-t)}{(i\xi/2)\pm \sqrt {2t-\xi^2/4}} dt$ , ma poi?Da qui mi blocco...
allora separando le variabili mi viene:
$\int_RR e^(-2x^2-ix \xi) dx$ poi cambio variabile ponendo $t=2x^2+ix\xi$ quindi l'integrale diventa: $\int_RR \frac{e^(-t)}{(i\xi/2)\pm \sqrt {2t-\xi^2/4}} dt$ , ma poi?Da qui mi blocco...
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