Esercizio su sviluppo di Taylor

[Lucked]

ciao a tutti. Mi aiutate a risolvere un esercizio che si presenta cosi?

scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine in 0 di una certa funzione.

credo dovrei usare la formula f(x) = p(x) + o((x-x0)^n) per x -> x0

ma come si usa? ho le idee un po' confuse.

[Lucked]

la funzione è questa: $(4x-3)/(2x - 1)^2

[cavallipurosangue]

Beh, se non ci dici la funzione...

[cavallipurosangue]

Ah ecco...

[Lucked]

si mi aspettavo che mi facevate questa domanda : )

[cavallipurosangue]

Il polinomio di Taylor troncato al secondo ordine è:
$P_2(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)(x-x_0)^2/2+o(x^2)$
quindi essendo in questo caso $x_0=0$, dopo aver fatto le relative derivate:
$P_2(x)=-3-8x-20x^2+o(x^2)$

[Lucked]

dunque io avrei capito solo il primo passaggio, in cui sostituisci 0 alla formula e trovi -3...poi cosa avresti fatto?

[cavallipurosangue]

fai la derivata, trovi il suo valore in 0 e poi la moltiplichi per $x-0$ ed ottieni $-8x$, poi insomma il procedimento è descritto nella prima formula che ho scritto.

[Lucked]

faccio la derivata prima:

$ (4(2x - 1)^2 - [(4x - 3) (2(2x-1)*2)])/(2x-1)^4$

$ (4 - [(4x-3)(8x-4)])/(2x-1)^2$

mi controlli che sia giusta?

[freddofede]

Si la derivata va bene; basta comunque che guardi la formula che ti ha dato cavalli e fai le opportune sostituzioni, ovvero $x_0 = 0$ e $f$ la tua funzione e relative derivate. Se poi ti scoccia fare il calcolo delle derivate, anche se qui si arriva solo al secondo ordine ed è fattibile, potresti calcolarti i polinomi di Taylor di $(4x-3)$ e $1/(2x - 1)^2$ di secondo grado in 0 e poi moltiplicarli tra di loro, tralasciando ovviamente i termini di grado superiore al secondo che vengono fuori dalla moltiplicazione.

[Lucked]

ok ma se nella derivata sostituisco x=0 non trovo -8 perche?
p.s: il risultato di cavalli è giusto cmq.

[cavallipurosangue]

Poi però devi moltiplicarlo per x, no?

[Lucked]

si ora le derivate e tutto il resto mi è tornato, grazie a tutti. Sono contento pero che faticaccia, perche al prof le derivate gli vengono molto piu compatte? sono riuscito proprio ora a trovare la soluzione e al prof la derivata prima viene:
$(-8(x - 1))/(2x - 1)^3 $

[freddofede]

"Lucked":ok ma se nella derivata sostituisco x=0 non trovo -8 perche?
p.s: il risultato di cavalli è giusto cmq.

Prova a rifare il conto

[Lucked]

si si viene mi ero suggestionato dalla lunghezza, in genere quando creo mostri con cosi tanti numeri in esercizi facili, vuol dire che è una pista sbagliata

[freddofede]

"Lucked":si ora le derivate e tutto il resto mi è tornato, grazie a tutti. Sono contento pero che faticaccia, perche al prof le derivate gli vengono molto piu compatte? sono riuscito proprio ora a trovare la soluzione e al prof la derivata prima viene:
$(-8(x - 1))/(2x - 1)^3 $

Forse ha scomposto $(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/((g(x))^2)$ in $(f'(x)g(x))/((g(x))^2) - (f(x)g'(x))/((g(x))^2$ e poi ha semplificato... è un trucco che a volte su usa per snellire il risultato.