Esercizio su successioni definite per ricorrenza.

[galles90]

Buonasera,

ho la seguente successione definita per ricorrenza

\(\displaystyle f(n)=\begin{cases} a_0=1 \\ a_{n+1}=sin(a_n) \end{cases} \)

Procedo cosi, suppongo in primis che la successione ammetta limite, cioè \(\displaystyle a=sin(a) \) , per $n to infty$, il quale può assumere valori compresi nel seguente intervallo, cioè $a in (-infty, +infty)$.
Si osserva subito che

$sin(a_n) ge 0\ quad forall n in mathbb{N}$

in quanto $sin(a_n)<0$ lo si ha per $pi le a_n le 2pi$, quest'ultima relazione non è verificata in quanto "almeno penso", si ha per esempio $a_0=1 < pi $, per cui risulta $sin(a_n) ge 0$ per ogni $n in mathbb{N}$, quindi $a ge 0$.
La successione risulta essere decrescente, lo dimostro per induzione, quindi:
per $n =1 $, si ha $a_1>a_2$, quindi supposto che risulti vera la relazione $a_(n+1)
Per il teorema sulle successioni monotone, la successione risulta ammettere limite finito, il quale risulta essere $a=0$

Sono corretti i passaggi ?

ciao

[gugo82]

Sì, mi pare giusto, tuttavia ti devi sforzare ad esprimerti meglio, più correttamente.

Innanzitutto, non partire dal limite se il limite non sai che esiste.
Comincia a studiare la limitatezza e la monotonia della successione. Una volta che sai se la successione è limitata e monotona, puoi calcolarne il limite.

[galles90]

Perfetto, grazie gug082