Esercizio su stime di una funzione in più variabili
Ciao a tutti! Ho il seguente:
a)Dimostrare che per ogni $R>0$ esiste una costante $K$ tale che $arctan(xy)-x^2+3y^4<=K(x^2+y^2)^2$ per ogni coppia di numeri reali $(x,y)$ tali che $x^2+y^2>=R^2$
b)Indicata con $K(R)$ la migliore costante per cui vale la disuguaglianza precedente, calcolare i seguenti limiti $lim_(R to 0^+) K(R)$ e $lim_(R to +infty) K(R)$
Allora io ho iniziato così. Il primo punto in soldoni è equivalente a:
$(arctan(xy)-x^2+3y^4)/((x^2+y^2)^2)<=K$ (che deve valere per le stesse relazioni viste su nella consegna)
Chiamando $f(x,y)=(arctan(xy)-x^2+3y^4)/((x^2+y^2)^2)$, devo vedere in pratica se essa è limitata superiormente. Per far questo son passato in polari, ottenendo: $f(rho,theta)<=(pi/2+3rho^4sin^4theta)/rho^4<=(pi/2+3rho^4)/rho^4=pi/(2rho^4)+3<=pi/(2R^4)+3$. Dunque per ogni $R>0$ la f è limitata superiormente.
Questo sistemerebbe il primo punto.
Per il secondo invece, vedendo l'ultima espressione mi verrebbe da dire almeno intuitivamente che i due limiti sono uguali rispettivamente a $+infty$ e $3$. Ora non penso che l'esercizio sia così stupido e che basti sostituire per ottenere i due risultati.
Come potrei formalizzare meglio il tutto?(Ammesso che i miei ragionamenti fin qui reggano)
a)Dimostrare che per ogni $R>0$ esiste una costante $K$ tale che $arctan(xy)-x^2+3y^4<=K(x^2+y^2)^2$ per ogni coppia di numeri reali $(x,y)$ tali che $x^2+y^2>=R^2$
b)Indicata con $K(R)$ la migliore costante per cui vale la disuguaglianza precedente, calcolare i seguenti limiti $lim_(R to 0^+) K(R)$ e $lim_(R to +infty) K(R)$
Allora io ho iniziato così. Il primo punto in soldoni è equivalente a:
$(arctan(xy)-x^2+3y^4)/((x^2+y^2)^2)<=K$ (che deve valere per le stesse relazioni viste su nella consegna)
Chiamando $f(x,y)=(arctan(xy)-x^2+3y^4)/((x^2+y^2)^2)$, devo vedere in pratica se essa è limitata superiormente. Per far questo son passato in polari, ottenendo: $f(rho,theta)<=(pi/2+3rho^4sin^4theta)/rho^4<=(pi/2+3rho^4)/rho^4=pi/(2rho^4)+3<=pi/(2R^4)+3$. Dunque per ogni $R>0$ la f è limitata superiormente.
Questo sistemerebbe il primo punto.
Per il secondo invece, vedendo l'ultima espressione mi verrebbe da dire almeno intuitivamente che i due limiti sono uguali rispettivamente a $+infty$ e $3$. Ora non penso che l'esercizio sia così stupido e che basti sostituire per ottenere i due risultati.
Come potrei formalizzare meglio il tutto?(Ammesso che i miei ragionamenti fin qui reggano)
Risposte
Ciao nick_10,
per quanto hai scritto, dato che $K(R)$ è la più piccola costante per cui la disuguaglianza $f(x,y) \leq K(R)$ vale, si ha che $f(R, \theta) \leq K(R) \leq \frac{\pi}{2R^4} + 3$. Quindi in particolare la relazione viene mantenuta se passi al limite $R \to \infty$ su tutti i membri
\begin{equation}
\lim_{R \to \infty} f(R, \theta) \leq \lim_{R \to \infty} K(R) \leq \lim_{R \to \infty} \frac{\pi}{2R^4} + 3 = 3.
\end{equation}
Dato che il limite a sinistra per $\theta=\pi/2$ è uguale a $3$, puoi concludere che $\lim_{R \to \infty} K(R)=3$.
Per l'altro punto penso bisogni fare qualche ragionamento simile ma adesso nn ho tempo di guardarlo. Vedo domani se riesco.
per quanto hai scritto, dato che $K(R)$ è la più piccola costante per cui la disuguaglianza $f(x,y) \leq K(R)$ vale, si ha che $f(R, \theta) \leq K(R) \leq \frac{\pi}{2R^4} + 3$. Quindi in particolare la relazione viene mantenuta se passi al limite $R \to \infty$ su tutti i membri
\begin{equation}
\lim_{R \to \infty} f(R, \theta) \leq \lim_{R \to \infty} K(R) \leq \lim_{R \to \infty} \frac{\pi}{2R^4} + 3 = 3.
\end{equation}
Dato che il limite a sinistra per $\theta=\pi/2$ è uguale a $3$, puoi concludere che $\lim_{R \to \infty} K(R)=3$.
Per l'altro punto penso bisogni fare qualche ragionamento simile ma adesso nn ho tempo di guardarlo. Vedo domani se riesco.
Grazie e scusa per il ritardo! Poi comunque avevo risolto