Esercizio su spazio metrico (X,d) con copertura qualsiasi
Ciao a tutti!
Ho provato a risolvere un esercizio del mio ultimo compito d'esame di analisi 1, e mi chiedo se la risoluzione (o meglio, la prima parte) sia corretta. Ecco il testo:
Sia $\Gamma = {C_i}_(i \in I)$ tale che $X = uu_(i \in I) C_i$.
Ho provato a risolvere un esercizio del mio ultimo compito d'esame di analisi 1, e mi chiedo se la risoluzione (o meglio, la prima parte) sia corretta. Ecco il testo:
Siano $(X, d)$ uno spazio metrico e $\Gamma$ una sua copertura (di natura qualsiasi).
Stabilire quali implicazioni valgono tra le seguenti affermazioni.
[list=a]
[*:2zuey6nf]Esiste un punto di $X$ che appartiene ad infiniti elementi di $\Gamma$.[/*:m:2zuey6nf]
[*:2zuey6nf]Esiste un punto di $X$ ogni intorno del quale ha intersezione non vuota con infiniti elementi di $\Gamma$.[/*:m:2zuey6nf]
[*:2zuey6nf]Esiste un sottoinsieme compatto di $X$ che ha intersezione non vuota con infiniti elementi di $\Gamma$.[/*:m:2zuey6nf][/list:o:2zuey6nf]
Sia $\Gamma = {C_i}_(i \in I)$ tale che $X = uu_(i \in I) C_i$.
- [*:2zuey6nf]Dimostro che $(a) rArr (b)$. Infatti, se $EE p \in X$ tale che $p$ appartiene a infiniti $C_i$ e se se chiamiamo $J$ l'insieme degli indici per cui si verifica questo fatto, $AA r > 0$ abbiamo che sicuramente $p \in B(p, r) nn C_j$ con $j \in J$. Quindi esistono infiniti $C_i$ (e sono almeno tutti i $C_j$) che hanno intersezione non vuota con $B(p, r)$.[/*:m:2zuey6nf]
[*:2zuey6nf]Il viceversa ($(b) rArr (a)$) non vale. Infatti, considero $X=RR$ euclideo e $\Gamma = {S_r}_{r \in RR}$ tale che $S_r = {r}$. $AA p \in RR$ ogni suo intorno ha intersezione non vuota con infiniti elementi di $\Gamma$. Tuttavia $AA p \in RR$, $p$ appartiene ad un solo elemento della copertura (precisamente l'elemento $S_p$).[/*:m:2zuey6nf]
[*:2zuey6nf]$(a) rArr (cx)$. Infatti se $EE p \in X$ rale che $p$ appartiene a infiniti $C_i$ e se chiamiamo $J$ l'insieme degli indici per cui si verifica questo fatto, ho che ${p} \sube nn_(j \in J) C_j$. Ma ${p}$ è singoletto, quindi è compatto che ha intersezione non vuota con infiniti $C_i$.[/*:m:2zuey6nf]
[*:2zuey6nf]Il viceversa ($(c) rArr (a)$) non vale. Infatti, considero $X=RR$ euclideo e $\Gamma = {S_r}_{r \in RR}$ tale che $S_r = {r}$. Per il teorema di Heine-Borel, in $RR$ i compatti sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati. Quindi mi basta considerare l'insieme $E = [0,1]$ e ho già trovato un compatto che verifica la $(c)$. Ma $(a)$ non è verificata per nessun punto di $RR$.[/*:m:2zuey6nf][/list:u:2zuey6nf]
Mi mancano le implicazioni tra $(b)$ e $(c)$. Pensandoci un po', credo che possa valere la doppia implicazione. Però non saprei dimostrarlo. Qualche idea?
Risposte
Se tu ci facessi caso puoi dimostrare che [tex]$(c)\Rightarrow(b)$[/tex] basta utilizzare un punto!
EDIT&EDIT2: Ma dove avevo la testa. -_-
EDIT&EDIT2: Ma dove avevo la testa. -_-
Che (b) implichi (c) è banale.
Riguardo l'altra implicazione, se neghiamo (b) allora per ogni $x\in X$ esiste $r_x>0$ tale che $B(x,r_x)$ interseca solo un numero finito di $\Gamma_i$.
Sia $K\subset X$ compatto. Dal ricoprimento aperto $\{B(x,r_x)\}_{x\in X}$ possiamo estrarre un sottoricoprimento finito $\{B(x_j, r_{x_j})\}_{j=1..N}$.
Poiché ciascuna palla interseca solo un nr finito di $\Gamma_i$, anche $K$ intersecherà solo un nr. finito di $\Gamma_i$.
Riguardo l'altra implicazione, se neghiamo (b) allora per ogni $x\in X$ esiste $r_x>0$ tale che $B(x,r_x)$ interseca solo un numero finito di $\Gamma_i$.
Sia $K\subset X$ compatto. Dal ricoprimento aperto $\{B(x,r_x)\}_{x\in X}$ possiamo estrarre un sottoricoprimento finito $\{B(x_j, r_{x_j})\}_{j=1..N}$.
Poiché ciascuna palla interseca solo un nr finito di $\Gamma_i$, anche $K$ intersecherà solo un nr. finito di $\Gamma_i$.
@j18eos: non ho capito bene cosa hai scritto O.o
@Rigel: ho capito la dimostrazione di $(c) rArr (b)$. Non avevo pensato a dimostrare la contronominale xD Grazie! Però non riesco a vedere la banalità di $(b) rArr (c)$...
@Rigel: ho capito la dimostrazione di $(c) rArr (b)$. Non avevo pensato a dimostrare la contronominale xD Grazie! Però non riesco a vedere la banalità di $(b) rArr (c)$...
Ho corretto, se non avessi capito come compatto che soddisfi [tex]$(c)$[/tex] potresti prendere un punto ed arrivare alla conclusione [tex]$(b)$[/tex].
EDIT: Ma è un ragionamento forzato!
EDIT: Ma è un ragionamento forzato!
L'implicazione [tex]$(b)\Rightarrow(c)$[/tex] si dimostra considerando un intorno compatto!
Un'altra dimostrazione (questa volta corretta) di [tex]$(c)\Rightarrow(b)$[/tex] consiste nel dimostrarla prima nel caso in cui [tex]$K$[/tex] sia un insieme finito, nel caso che sia infinito basta considerare un suo punto di accumulazione e soddisfare così [tex]$b$[/tex].
Un'altra dimostrazione (questa volta corretta) di [tex]$(c)\Rightarrow(b)$[/tex] consiste nel dimostrarla prima nel caso in cui [tex]$K$[/tex] sia un insieme finito, nel caso che sia infinito basta considerare un suo punto di accumulazione e soddisfare così [tex]$b$[/tex].
"mgiaff":
@Rigel: ho capito la dimostrazione di $(c) rArr (b)$. Non avevo pensato a dimostrare la contronominale xD Grazie! Però non riesco a vedere la banalità di $(b) rArr (c)$...
In effetti non è del tutto banale.
Se vale (b), allora per ogni $n\in\mathbb{N}$ esiste un indice $i_n\in I$ e un elemento $x_n\in\Gamma_{i_n}$ t.c. $d(x_n, ,x) < 1/n$.
Sempre per ipotesi, gli indici $i_n$ si possono scegliere tutti distinti.
Prendi $K=\{x, x_1, x_2, ...\}$.
Allora $K$ è compatto e interseca infiniti $\Gamma_i$.
[OT]
Ogni tanto non leggo pezzi di messaggi (penso dipenda dallo script per il rendering delle formule).
E' un problema solo mio?
[/OT]
Grazie dissonance.
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