Esercizio su spazi metrici completi

[lorrr96]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio ma non so come procedere. Il testo è il seguente:

Dimostrare che la funzione

\(\displaystyle d((x_1,y_1),(x_2,y_2)):=\left|\frac{x_1}{4-x_1^2}-\frac{x_2}{4-x_2^2}\right|+\left|y_1-y_2\right|\)

con \(\displaystyle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X:=(-2,2)\times\mathbb{R} \), è una distanza in \(\displaystyle X \). Stabilire se lo spazio metrico \(\displaystyle (X,d) \) è completo.

Per dimostrare che è una distanza non ho problemi. Per quanto riguarda la completezza io stavo provando a ragionare nel modo seguente: se una successione \(\displaystyle (x_n,y_n) \) è di Cauchy in \(\displaystyle (X,d) \) allora

\(\displaystyle \forall\epsilon>0, \exists n_{\epsilon}>0 : \left|\frac{x_n}{4-x_n^2}-\frac{x_m}{4-x_m^2}\right|+\left|y_n-y_m\right|<\epsilon, \forall n,m>n_{\epsilon} \)

quindi la componente \(\displaystyle y_n \) della successione varia in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e la quantità \(\displaystyle |y_n-y_m| \) soddisfa la condizione di Cauchy. Ciò implica la convergenza in \(\displaystyle (\mathbb{R},|\cdot|) \).
Ho quindi pensato di poter ridurre il problema alla sola verifica della completezza di \(\displaystyle ((-2,2),\bar{d}) \) dove

\(\displaystyle \bar{d}(x_1,x_2):=\left|\frac{x_1}{4-x_1^2}-\frac{x_2}{4-x_2^2}\right| \)

Ma comunque non so come ricavare la convergenza dalla definizione di successione di Cauchy. Come posso fare?

[Antimius]

Potresti provare a studiare le proprietà di $f(x)= \frac{x}{4-x^2}$ e vedere se riesci a dire qualcosa su $|f(x_n)-f(x_m)|$

L'idea è riuscire a avere una maggiorazione del tipo $|x_m - x_n| \leq M|f(x_m)-f(x_n)|$, quindi puoi studiare l'invertibilità della funzione e studiare la derivata prima dell'inversa. Infatti, se questa fosse limitata, avresti:
$$|x_m-x_n|= |f^{-1}(f(x_m))-f^{-1}(f(x_n)) \leq \|(f^{-1})'\| |f(x_m)-f(x_n)|$$