Esercizio su spazi metrici
Buongiorno a tutti, in questa fredda vigilia di Natale.
Ho alcune perplessità intorno alla risoluzione del seguente esercizio:
Molto probabilmente mi perdo in un bicchier d'acqua... Ma procediamo con ordine.
Devo in sostanza verificare che \(\displaystyle d^{\alpha} \) è ancora una distanza (o metrica), ossia che verifica le ben note tre proprietà. In dettaglio:
1. Senza dubbio si ha \(\displaystyle [d(x,y)]^{\alpha} \ge 0 \quad \forall \ x,y \in \mathrm{X} \) perché \(\displaystyle d \) è una metrica, e per le proprietà dell'esponenziale. Ne segue anche che \(\displaystyle [d(x,y)]^{\alpha}=0 \ \Leftrightarrow \ x=y\);
2. Si ha \(\displaystyle d(x,y)=d(y,x) \) di nuovo perché \(\displaystyle d \) è una metrica. Quindi posso affermare che \(\displaystyle [d(x,y)]^{\alpha}=[d(y,x)]^{\alpha} \);
Rimane ora da provare le disuguaglianza triangolare, ossia che \(\displaystyle [d(x,y)]^{\alpha} \le [d(x,z)]^{\alpha} + [d(z,y)]^{\alpha} \), ma non mi vengono idee. O meglio, se \(\displaystyle \alpha \) fosse un razionale saprei ben come provarla, ma con \(\displaystyle \alpha \) reale non mi viene in mente nulla.
Grazie per l'attenzione.
Ho alcune perplessità intorno alla risoluzione del seguente esercizio:
Sia \(\displaystyle (X,d) \) uno spazio metrico e sia \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) un numero reale tale che \(\displaystyle 0 < \alpha \le 1 \). Provare che \(\displaystyle (X,d^{\alpha}) \) è ancora uno spazio metrico.
Molto probabilmente mi perdo in un bicchier d'acqua... Ma procediamo con ordine.
Devo in sostanza verificare che \(\displaystyle d^{\alpha} \) è ancora una distanza (o metrica), ossia che verifica le ben note tre proprietà. In dettaglio:
1. Senza dubbio si ha \(\displaystyle [d(x,y)]^{\alpha} \ge 0 \quad \forall \ x,y \in \mathrm{X} \) perché \(\displaystyle d \) è una metrica, e per le proprietà dell'esponenziale. Ne segue anche che \(\displaystyle [d(x,y)]^{\alpha}=0 \ \Leftrightarrow \ x=y\);
2. Si ha \(\displaystyle d(x,y)=d(y,x) \) di nuovo perché \(\displaystyle d \) è una metrica. Quindi posso affermare che \(\displaystyle [d(x,y)]^{\alpha}=[d(y,x)]^{\alpha} \);
Rimane ora da provare le disuguaglianza triangolare, ossia che \(\displaystyle [d(x,y)]^{\alpha} \le [d(x,z)]^{\alpha} + [d(z,y)]^{\alpha} \), ma non mi vengono idee. O meglio, se \(\displaystyle \alpha \) fosse un razionale saprei ben come provarla, ma con \(\displaystyle \alpha \) reale non mi viene in mente nulla.
Grazie per l'attenzione.
Risposte
La funzione \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(t):=\frac{(1+t)^\alpha}{1+t^\alpha}
\]
ha massimo uguale ad \(1\) e minimo uguale a \(2^{\alpha-1}\) (perché?); quindi si ha:
\[
\tag{1} \forall t\in [0,1],\qquad 2^{\alpha -1} (1+t^\alpha)\leq (1+t)^\alpha \leq 1+t^\alpha\; .
\]
Ora è:
\[
d^\alpha(x,y) \leq \Big( d(x,z)+d(z,y)\Big)^\alpha
\]
per la monotonia della potenza e la disuguaglianza triangolare per \(d\). Se almeno una delle due distanze a secondo membro è nulla, la tesi segue immediatamente; altrimenti, supponiamo senza ledere la generalità che \(d(x,z)\geq d(z,y)>0\), mettiamo in evidenza \(d(x,z)\) al secondo membro e sfruttiamo la (1) per ottenere:
\[
\begin{split}
d^\alpha (x,y) &\leq d^\alpha (x,z)\ \Bigg( 1+\frac{d(z,y)}{d(x,z)}\Bigg)^\alpha \\
&\leq d^\alpha (x,z)\ \left( 1+\Bigg(\frac{d(z,y)}{d(x,z)}\Bigg)^\alpha\right) &\quad \text{per la (1)}\\
&= d^\alpha (x,z)+d^\alpha (z,y)\; ,
\end{split}
\]
che è la tesi.
\[
f(t):=\frac{(1+t)^\alpha}{1+t^\alpha}
\]
ha massimo uguale ad \(1\) e minimo uguale a \(2^{\alpha-1}\) (perché?); quindi si ha:
\[
\tag{1} \forall t\in [0,1],\qquad 2^{\alpha -1} (1+t^\alpha)\leq (1+t)^\alpha \leq 1+t^\alpha\; .
\]
Ora è:
\[
d^\alpha(x,y) \leq \Big( d(x,z)+d(z,y)\Big)^\alpha
\]
per la monotonia della potenza e la disuguaglianza triangolare per \(d\). Se almeno una delle due distanze a secondo membro è nulla, la tesi segue immediatamente; altrimenti, supponiamo senza ledere la generalità che \(d(x,z)\geq d(z,y)>0\), mettiamo in evidenza \(d(x,z)\) al secondo membro e sfruttiamo la (1) per ottenere:
\[
\begin{split}
d^\alpha (x,y) &\leq d^\alpha (x,z)\ \Bigg( 1+\frac{d(z,y)}{d(x,z)}\Bigg)^\alpha \\
&\leq d^\alpha (x,z)\ \left( 1+\Bigg(\frac{d(z,y)}{d(x,z)}\Bigg)^\alpha\right) &\quad \text{per la (1)}\\
&= d^\alpha (x,z)+d^\alpha (z,y)\; ,
\end{split}
\]
che è la tesi.
Grazie mille gugo! Geniale come sempre!
gugo, ora come ora (sarà la stanchezza), ma non riesco a capire perché il massimo di quella funzione è \(\displaystyle 1 \)... Mi potresti illuminare?
Grazie.
Grazie.
La derivata di $f(t)$ si annulla in $0$ e si vede che $f(t)$ è decrescente $AA t in (0,1]$. Il massimo è assunto per $t=0$.
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