Esercizio su serie numeriche
Ciao, ho bisogno di un aiuto con una serie numerica:
data una serie:
$sum_{n=0}^\infty\((n+1)/(n+2))^(n^2 +2n+1)$
devo studiarne il carattere e dire in caso di convergenza se converge assolutamente.
per cauchy la condizione necessaria per la convergenza è
$\lim_{n \to \infty}a_n=0$
ma il limite di
$\lim_{n \to \infty}((n+1)/(n+2))^(n^2 +2n+1)=1$
non soddisfa condizione necessaria per convergenza.
eppure l'esercizio senza svolgimento(che è stato tema d'esame universitario) dice che la serie "converge assolutamente"....
qualcuno mi può dare chiarimenti come svolgere questo esercizio.
grazie.
data una serie:
$sum_{n=0}^\infty\((n+1)/(n+2))^(n^2 +2n+1)$
devo studiarne il carattere e dire in caso di convergenza se converge assolutamente.
per cauchy la condizione necessaria per la convergenza è
$\lim_{n \to \infty}a_n=0$
ma il limite di
$\lim_{n \to \infty}((n+1)/(n+2))^(n^2 +2n+1)=1$
non soddisfa condizione necessaria per convergenza.
eppure l'esercizio senza svolgimento(che è stato tema d'esame universitario) dice che la serie "converge assolutamente"....
qualcuno mi può dare chiarimenti come svolgere questo esercizio.
grazie.
Risposte
Sei proprio sicuro che quel limite faccia $1$?
Frettoloso, non ha visto la forma d'indecisione
Tipico limite che da nepero
Tipico limite che da nepero
"Antonio Mantovani":
Frettoloso, non ha visto la forma d'indecisione
Tipico limite che da nepero
"anto_zoolander":
Sei proprio sicuro che quel limite faccia $1$?
Sono riusci a trovare la soluzione...sbagliavo nella scomposizione
$sum_{n=0}^\infty\((n+1)/(n+2))^(n^2 +2n+1)$ = $sum_{n=0}^\infty\(1-1/(n+2))^(n^2 +2n+1)$ = $sum_{n=0}^\infty\(1-1/(n+2))^((n+2)^2-2n-3)$
quindi
$\lim_{n \to \infty}(1-1/(n+2))^((n+2)^2-2n-3)$ asintotico a $\lim_{n \to \infty}e^(-n-1)=0$
Ciao Liyus,
Si vede subito che la serie proposta è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente.
Nel caso specifico, osserverei preliminarmente che si ha:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}((n+1)/(n+2))^(n^2 +2n+1) = \sum_{n=0}^{+\infty}((n+1)/(n+2))^{(n+1)^2} $
Dunque appare decisamente conveniente porre $p := n + 1 $ sicché la serie proposta diventa la seguente:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}((n+1)/(n+2))^{(n+1)^2} = \sum_{p=1}^{+\infty}(p/(p+1))^{p^2} = \sum_{p=1}^{+\infty}((p + 1 - 1)/(p+1))^{p^2} = \sum_{p=1}^{+\infty}(1 - 1/(p+1))^{p^2} $
A questo punto, applicando il criterio della radice all'ultima serie scritta...
Si vede subito che la serie proposta è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente.
Nel caso specifico, osserverei preliminarmente che si ha:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}((n+1)/(n+2))^(n^2 +2n+1) = \sum_{n=0}^{+\infty}((n+1)/(n+2))^{(n+1)^2} $
Dunque appare decisamente conveniente porre $p := n + 1 $ sicché la serie proposta diventa la seguente:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}((n+1)/(n+2))^{(n+1)^2} = \sum_{p=1}^{+\infty}(p/(p+1))^{p^2} = \sum_{p=1}^{+\infty}((p + 1 - 1)/(p+1))^{p^2} = \sum_{p=1}^{+\infty}(1 - 1/(p+1))^{p^2} $
A questo punto, applicando il criterio della radice all'ultima serie scritta...
Raccogli n e smanetta
In realtà il limite fa $0$, $(n+1)/(n+2)$ lo puoi riscrivere come $(n+2-1)/(n+2) = 1-1/(n+2)$
E hai ragione pure tu, quando e' meglio e' meglio
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