Esercizio su serie numerica convergente

[fabiuz_29]

Ciao a tutti, sono Fabio e questo è il mio primo topic che invio, frequento l'università di Pavia di Matematica.
Studiando e facendo esercizi di Analisi 1, non riesco a risolvere questa serie numerica, giro intorno alla soluzione ma ancora non capisco al 100%.

La serie è :

$ sum_(n = \1)^(oo) (1+n^-3)^alpha*(1+n^2)^-alpha*(sinn^-4)^alpha $

E dovrebbe convergere con alpha maggiore di $ 1/6 $



Chi mi può aiutare, anche solo una spinta? Ho provato a usare tutti i modi possibili, dai criteri agli sviluppi di funzioni elementari

[rino6999]

suggerimento
svolgendo i calcoli il temine generale della serie si può scrivere nella forma
$(frac{n^3+1}{n^5+n^3}sin(1/n^4))^alpha$
per $ nrarr+infty $ si ha $ sin(1/n^4)~1/n^4 $

[fabiuz_29]

Grazie per la risposta tempestiva...mi hai dato già un grande aiuto.

Ok..una volta che arrivo a $ ((n^3+1)/(n^7+n^9))^alpha $

noto che 9-3 = 6 e raccogliendo un $ n^3 $ verrebbe proprio $ alpha > 1/6 $ ... è consentito fare ciò? (il mio dubbio sorge in quanto tratto serie e non limiti )

[rino6999]

è consentito dire che la tua serie ha lo stesso carattere della serie di termine generale $(1/n)^(6alpha)$
e quindi sei a posto

[fabiuz_29]

sei stato chiarissimo