Esercizio su serie numerica con parametro

[ladepie]

Discutere la convergenza al variare del parametro della seguente serie numerica:

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+x^{2n}} $

[alberto.chiarini]

Ciao, sarebbe utile per tutti se postassi anche un tentativo di soluzione, o almeno qualche considerazione preliminare..

[ladepie]

le mie considerazioni sono queste...

la condizione necessaria di convergenza secondo me è verificata perchè
$\lim$ $a_n =0$ essendoci al denominatore un infinito di ordine maggiore.

inoltre per x=1 e x=0 otteniamo serie divergenti essendo , rispettivamente, $\sum frac{1}{2}$ e $\sum 0$

[j18eos]

Rifai i conti per [tex]$x=0$[/tex]

Puoi applicare il criterio del rapporto per determinare per quali [tex]$x$[/tex] tale serie converge!

[ladepie]

studiando la convergena assoluta e applicando il criterio del rapporto si ottiene

$\frac{x^{2}}{|x|}<1$ le soluzioni sono $-1
Non capisco come studiare la convergenza per gli altri valori...

[adaBTTLS1]

certamente anche $x= -1$ è un caso particolare.
ma se imponi che il rapporto sia compreso tra $-1$ e $1$ non mi pare che ottieni una cosa così semplice: dovrebbe venire $x != 0, +-1$.
come hai ottenuto $(x^2)/|x|$ ?

[ladepie]

$frac{1+x^{2n+2}}{|x|^{n+1}} \cdot frac{|x|^{n}}{1+x^{2n}} = frac{1+(x^{2n} \cdot x^{2})}{|x|^{n}\cdot |x|} \cdot frac{|x|^{n}}{1+x^{2n}} \rightarrow \frac{x^{2}}{|x|}$

[adaBTTLS1]

di solito si fa il rapporto tra il successivo ed il precedente, per cui dovrebbe essere il reciproco di quello che hai scritto.
io, non usando il modulo e non facendo il limite, ho ottenuto:

$ -1 < (x^(2n+1)+x)/(x^(2n+2)+1) < +1 -> {[(x^(2n+1)-1)(x-1)>0],[(x^(2n+1)+1)(x+1)>0] :}$

[Euphurio]

"ladepie":$frac{1+x^{2n+2}}{|x|^{n+1}} \cdot frac{|x|^{n}}{1+x^{2n}} = frac{1+(x^{2n} \cdot x^{2})}{|x|^{n}\cdot |x|} \cdot frac{|x|^{n}}{1+x^{2n}} \rightarrow \frac{x^{2}}{|x|}$

non credo sia corretto...applicando il criterio del rapporto non si ottiene $\frac{x^{2}}{|x|}$...prova a rifare con più attenzione i conti...inoltre devi valutare, data $\sum a_n$, il $\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}$!!

[ladepie]

Si ho sbagliato..da $frac{|x|}{x^{2}}<1$...e si trova $-1

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