Esercizio su serie numerica
ciao ragazzi, ho dei dubbi su come procedere per lo svolgimento degli esercizi per determinare il carattere di una serie:
Es. devo studiare la convergenza della serie $\Sigma_(n=1) ^(\infty) \frac{(n+1)!}{(n^2n!)}$
Per verificare la convergenza da dove dovrei partire?? Io parto dal criterio del rapporto perchè mi sta simpatico...
Applico il criterio del rapporto ottengo quindi
$\lim_(x to +\infty) \frac{(n+2)!}{((n+1)^2(n+1)!)} \frac{n^2n!}{(n+1)!} = \lim_(x to +\infty) \frac{(n+2)(n+1)!}{ (n+1)^2(n+1)!} \frac{n^2n!}{(n+1)n!}=\lim_(x to +\infty) \frac{n^2(n+2)}{n+1}^3=n^3/n^3=1$ a questo punto essendo il lim pari all'unità non si può dir niente e dato che mi hanno riferito dell'esistenza di un teorema che dimostra che è inutile usare il criterio della radice se quello del rapporto non ha funzionato tento tramite confronto asintotico cercando di trasformare la serie in qualcosa di utile
$\Sigma \frac{(n+1)!}{n^2n!}=\frac{(n+1)n!}{n^2n!}= \frac{n+1}{n^2}$~$n/n^2$ ed essendo $n/n^2=1/n$ allora
$\Sigma \frac{(n+1)!}{n^2n!}$ diverge!
Va bene come ragionamento e procedimento? a volte mi "insabbio"
p.s. (non ricordo la sintassi di sommatoria pardon)
Es. devo studiare la convergenza della serie $\Sigma_(n=1) ^(\infty) \frac{(n+1)!}{(n^2n!)}$
Per verificare la convergenza da dove dovrei partire?? Io parto dal criterio del rapporto perchè mi sta simpatico...
Applico il criterio del rapporto ottengo quindi
$\lim_(x to +\infty) \frac{(n+2)!}{((n+1)^2(n+1)!)} \frac{n^2n!}{(n+1)!} = \lim_(x to +\infty) \frac{(n+2)(n+1)!}{ (n+1)^2(n+1)!} \frac{n^2n!}{(n+1)n!}=\lim_(x to +\infty) \frac{n^2(n+2)}{n+1}^3=n^3/n^3=1$ a questo punto essendo il lim pari all'unità non si può dir niente e dato che mi hanno riferito dell'esistenza di un teorema che dimostra che è inutile usare il criterio della radice se quello del rapporto non ha funzionato tento tramite confronto asintotico cercando di trasformare la serie in qualcosa di utile
$\Sigma \frac{(n+1)!}{n^2n!}=\frac{(n+1)n!}{n^2n!}= \frac{n+1}{n^2}$~$n/n^2$ ed essendo $n/n^2=1/n$ allora
$\Sigma \frac{(n+1)!}{n^2n!}$ diverge!
Va bene come ragionamento e procedimento? a volte mi "insabbio"
p.s. (non ricordo la sintassi di sommatoria pardon)
Risposte
La seconda strada mi pare molto sensata.
Basta sviluppare il fattoriale a numeratore e tutto viene semplice semplice:
$ \sum_{n=1}^{infty} \frac{(n+1)!}{n^2 n!} = \sum_{n=1}^{infty} \frac{(n+1)n!}{n^2 n!} = \sum_{n=1}^{infty} \frac{(n+1)}{n^2}$ e da qui dovrebbe essere semplice concludere, come hai fatto.
Basta sviluppare il fattoriale a numeratore e tutto viene semplice semplice:
$ \sum_{n=1}^{infty} \frac{(n+1)!}{n^2 n!} = \sum_{n=1}^{infty} \frac{(n+1)n!}{n^2 n!} = \sum_{n=1}^{infty} \frac{(n+1)}{n^2}$ e da qui dovrebbe essere semplice concludere, come hai fatto.
quindi in generale se ho un fattoriale cerco di trasformarlo in numero e poi di li applico il limite... giusto?
Non credo di aver afferrato ciò che vuoi dire. Che cosa significa "trasformarlo" in numero?
In linea di massima, quando vedo fattoriali, dopo aver controllato la condizione necessaria, provo a semplificarli (se possibile) oppure uso il criterio del rapporto (che sta simpatico anche a me
).
In linea di massima, quando vedo fattoriali, dopo aver controllato la condizione necessaria, provo a semplificarli (se possibile) oppure uso il criterio del rapporto (che sta simpatico anche a me
).
Il mio problema è che non so bene come procedere quando mi ritrovo davanti a una serie! Parto sempre con il criterio del rapporto...
Intendo dire che cerco di semplificare il termine generale della serie... in modo da poter o usare il confronto asintotico oppure in modo da potermi calcolare il limite e vedere se è finito allora converge e se è infinito allora diverse altrimenti nulla si può dire!
capito? forse sbaglio ragionamento...
Intendo dire che cerco di semplificare il termine generale della serie... in modo da poter o usare il confronto asintotico oppure in modo da potermi calcolare il limite e vedere se è finito allora converge e se è infinito allora diverse altrimenti nulla si può dire!
capito? forse sbaglio ragionamento...
Ci sono casi estremi in cui può tornarti utile sapere che: $n! sim n^n e^(-n) sqrt(2 pi n) $.
Io non mi fascierei troppo la testa, non c'è niente di male a non azzeccare a primo colpo il modo migliore, anzi ti obbliga a provare più strade e fai esperienza. Anzi ti consiglio, anche se riesci a risolvere, di provare a risolvere con altri metodi, sulla base di quelli che hai studiato. Probabilmente esercitandoti riuscirai a capire più velocemente cosa applicare.
Non sei curioso?
a questo punto essendo il lim pari all'unità non si può dir niente e dato che mi hanno riferito dell'esistenza di un teorema che dimostra che è inutile usare il criterio della radice se quello del rapporto
Non sei curioso?
un po si... ma preferisco imparfare a far bene gli esercizi per ppassare l'esame piuttosto che approfondire teoremi non richiesti!
Non sono poche le cose che trascuro per fare l'esame... farò più esercizi!
Grazie a tutti...
Non sono poche le cose che trascuro per fare l'esame... farò più esercizi!
Grazie a tutti...
"ansioso":
un po si... ma preferisco imparfare a far bene gli esercizi per ppassare l'esame piuttosto che approfondire teoremi non richiesti!
Mah, così tanto per parlare: non sono per nulla d'accordo con questa frase. Io tendo a fare l'esatto contrario, invece, il che è un errore lo stesso perché non bisogna disperdersi. Ma negare completamente la curiosità e la ricerca personale come fai tu secondo me rende lo studio arido e noiosissimo e, alla lunga, non paga nemmeno.
Comunque sono solo mie opinioni.
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