Esercizio su Serie Numerica
Avrei bisogno di un aiuto, non riesco a verificare che questa serie non converge :
$ sum_{n=1}^\infty (-1)^n * n/(n+1) $
La condizione necessaria affinchè la serie sia convergente è che $lim_{n \to \infty} (-1)^n * n/(n+1) = 0$, e quindi per verificare che la serie non converge, il limite deve essere $!=$ 0. Il problema è che non riesco a risolvere questo limite !!
Mi date una mano per favore ?
Grazie.
$ sum_{n=1}^\infty (-1)^n * n/(n+1) $
La condizione necessaria affinchè la serie sia convergente è che $lim_{n \to \infty} (-1)^n * n/(n+1) = 0$, e quindi per verificare che la serie non converge, il limite deve essere $!=$ 0. Il problema è che non riesco a risolvere questo limite !!
Mi date una mano per favore ?
Grazie.
Risposte
prova con la convergenza assoluta e negala
Grazie che non riesci a risolvere $lim_n (-1)^n*n/(n+1)$... questo limite semplicemente non esiste.
Però $maxlim_n (-1)^n*n/(n+1)=1$ e $minlim_n (-1)^n*n/(n+1)=-1$ e tanto basta per garantire che la tua serie non converga.
Falso. Il limite non "deve essere $!=0$" in quanto può anche non esistere affatto.
Infatti la negazione dell'implicazione $\sum a_n " converge" quad => quad lim_n a_n=0$ è $"se " lim_n a_n " non esiste oppure se " lim_n a_n!=0 quad => quad \sum a_n " non converge"$.
Però $maxlim_n (-1)^n*n/(n+1)=1$ e $minlim_n (-1)^n*n/(n+1)=-1$ e tanto basta per garantire che la tua serie non converga.
"Matematico":
La condizione necessaria affinchè la serie sia convergente è che $lim_{n \to \infty} (-1)^n * n/(n+1) = 0$, e quindi per verificare che la serie non converge, il limite deve essere $!=$ 0.
Falso. Il limite non "deve essere $!=0$" in quanto può anche non esistere affatto.
Infatti la negazione dell'implicazione $\sum a_n " converge" quad => quad lim_n a_n=0$ è $"se " lim_n a_n " non esiste oppure se " lim_n a_n!=0 quad => quad \sum a_n " non converge"$.
"Matematico":
La condizione necessaria affinchè la serie sia convergente è che $lim_{n \to \infty} (-1)^n * n/(n+1) = 0$, e quindi per verificare che la serie non converge, il limite deve essere $!=$ 0.
Si ho dimenticato di mettere anche il caso del limite indeterminato.
Ma perchè non esiste il limite, non l'ho capita bene questa cosa !!??
Perchè la successione degli addendi è prodotto di una successione non regolare limitata (ossia quella di termine generale $(-1)^n$) e di una regolare non infinitesima (ossia $n/(n+1)$ che ha limite pari ad $1$): in tal caso si ha:
$minlim_n (-1)^n n/(n+1)=minlim (-1)^n*lim_n n/(n+1)=-1*1=-1!=1=1*1=maxlim_n (-1)^n*lim_n n/(n+1)=maxlim_n (-1)^n n/(n+1)$
ed il limite di $(-1)^n n/(n+1)$ non può dunque esistere.
$minlim_n (-1)^n n/(n+1)=minlim (-1)^n*lim_n n/(n+1)=-1*1=-1!=1=1*1=maxlim_n (-1)^n*lim_n n/(n+1)=maxlim_n (-1)^n n/(n+1)$
ed il limite di $(-1)^n n/(n+1)$ non può dunque esistere.
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