Esercizio su serie di Taylor

[LowSlow]

Devo trovare la serie di Taylor con centro in 0 di questa funzione $1/(1+3x^2)^3$, utilizzando la formula della serie di Taylor con centro in 0, e arrivando a calcolare la derivata quarta (è stato veramente un casino), mi esce fuori questa serie di funzioni $1 - 9x^2 + 54x^4 ...$. La prof ci ha detto che praticamente è la serie dei coefficienti binomiali $\sum_{n=0}^infty (n!)/((k!)*(n-k)!)x^n$. Quello che non capisco è, la serie di quella funzione come si riconduce alla serie dei coefficienti binomiali? C'è un modo più veloce invece di calcolare un sacco di derivate al fine di applicare la formula delle serie di Taylor?

[spugna2]

Considera la funzione $1/(1-y)^k $: è facile vedere che la derivata $n $-esima in $0$ è $k * (k-1) * ... * (k-n+1) $, quindi lo sviluppo di Taylor è $sum_(n=0)^(+oo) (k*(k+1)*...*(k+n-1))/(n!) y^n$, e i coefficienti sono proprio i binomiali. Adesso sostituisci $y=-3x^2$ e $k=3$ e sei a posto.

[LowSlow]

Grazie mille!