Esercizio su serie di funzioni
Voi come iniziereste a fare questo esercizio?
Per il punto a non vedo come nessuno dei metodi per determinare la convergenza possa essere applicato.
Pure per la parte B e C il calcolo della derivata sembra prospettarsi lunga e prona di errori.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Risposte
Per la convergenza totale, prova a raccogliere la $n$ a numeratore e denominatore, tenendo poi presente che $n>=1$.
(edit) ah no scusa... mi sono confuso...ti stavo facendo dimostrare che il termine generale converge uniformemente alla funzione identicamente nulla per $x>0$.
(edit) ah no scusa... mi sono confuso...ti stavo facendo dimostrare che il termine generale converge uniformemente alla funzione identicamente nulla per $x>0$.
"dissonance":
Per la convergenza totale, prova a raccogliere la $n$ a numeratore e denominatore, tenendo poi presente che $n>=1$.
(edit) ah no scusa... mi sono confuso...ti stavo facendo dimostrare che il termine generale converge uniformemente alla funzione identicamente nulla per $x>0$.
Purtroppo in questo caso il fatto che il termine generale converge a 0 (mi sembra)non vuol dire nulla.
Anche se volendo mhh
$\frac{\sqrt(n^2*x^2 +1) - nx}{n^2*x +n} = \frac{\sqrt(n^2x^2(1 + 1/(n^2x^2))) - nx}{n^2*x +n} = \frac{nx*\sqrt((1 + 1/(n^2x^2))) - nx}{n^2*x +n} =$
$= \frac{\sqrt((1 + 1/(n^2x^2))) - 1}{n +1 /x}
per x > 0. Per x = 0 la funzione si riduce a (1/n) che non converge.
Usando il criterio dei infinitesimi la serie diverge.
Pero mi sembra strano, perché il resto dell'esercizio per essere fatto presuppone che la serie converga uniformemente da qualche parte.
EDIT come non detto, la mia ultima parte del ragionamento e sbagliata. in quanto sopra ci sono due infiniti che si sottraggono.
Sai che puoi fare, forse, per la convergenza puntuale? Se scrivi il polinomio di Taylor di $(1+t)^alpha$ e poi cambi $t$ con $n^2x^2$, $alpha$ con $1/2$, poi magari riesci a dire qualcosa sull'ordine di infinitesimo del termine generale.
allora,
Ho provato a calcolare a manina la serie e viene (confermata da derive)
$7·n^10·x^10/256 - 5·n^8·x^8/128 + n^6·x^6/16 - n^4·x^4/8 + n^2·x^2/2 + 1$
da cui
$\frac{ 1 + x^2*n^2x^2/2 + o(x^(2n)) -nx}{n^2x + n}$
Il quale termine generale non tende nemmeno a zero per $ x != 0$
per x = 0 si riduce a $1/n$ che non converge.
Quindi la convergenza per le altre due sono negative perché la serie non converge su nessun insieme?
Ho provato a calcolare a manina la serie e viene (confermata da derive)
$7·n^10·x^10/256 - 5·n^8·x^8/128 + n^6·x^6/16 - n^4·x^4/8 + n^2·x^2/2 + 1$
da cui
$\frac{ 1 + x^2*n^2x^2/2 + o(x^(2n)) -nx}{n^2x + n}$
Il quale termine generale non tende nemmeno a zero per $ x != 0$
per x = 0 si riduce a $1/n$ che non converge.
Quindi la convergenza per le altre due sono negative perché la serie non converge su nessun insieme?
Madò scusa...come l'avevo messa io era sbagliatissimo!!! Infatti lo sviluppo di $(1+t)^alpha$ a cui stavamo pensando noi era per $t\to0$, mentre a noi servono informazioni per $n\toinfty$!.
L'idea, detta in termini più corretti, è questa: dalla $((n^2x^2+1)^(1/2)-nx)/(n^2x+n)$, raccogliendo $nx$ al numeratore ( e quindi supponiamo $x!=0$) passiamo ad avere $(nx[(1+1/(n^2x^2))^(1/2)-1])/(n^2x+n)$ [edit] continua sul post successivo.
L'idea, detta in termini più corretti, è questa: dalla $((n^2x^2+1)^(1/2)-nx)/(n^2x+n)$, raccogliendo $nx$ al numeratore ( e quindi supponiamo $x!=0$) passiamo ad avere $(nx[(1+1/(n^2x^2))^(1/2)-1])/(n^2x+n)$ [edit] continua sul post successivo.
[...continua dal post precedente]
Partiamo direttamente da $(nx[(1+1/(n^2x^2))^(1/2)-1])/(n^2x+n), x!=0$. Ci servono informazioni per $n\toinfty$, che otterremo sviluppando in serie di Taylor arrestata al secondo ordine la funzione $(1+1/t)^(1/2)-1$ per $t\to+infty$.
(Sto passando dalla variabile $n$ alla $t$ perché a rigore gli sviluppi di Taylor non si applicano alle successioni, ma solo a funzioni di variabile reale.)
Comunque: $(1+1/t)^(1/2)-1=1+1/(2t)+o(1/t)-1=1/(2t)+o(1/t)$. Possiamo dire perciò che $(1+1/(n^2x^2))^(1/2)-1=1/(2n^2x^2)+o(1/(n^2x^2))$. Essendo $x^2$ solo un parametro non nullo, $o(1/(n^2x^2))=o(1/(n^2))$. Quindi il numeratore è $nx*[1/(2n^2x^2)+o(1/(n^2))]=1/(nx)+o(1/n)$.
Perciò il termine generale della serie è $[1/(nx)+o(1/n)]*1/(n^2x+n)=1/(n^3x^2+n^2x)+o(1/n^3)$, che tende a $0$ come $1/(n^3)$, e allora la serie converge se $x!=0$.
Controlla tutto con le pinze. E' da un po' che non faccio esercizi su questi argomenti.
[edit] ho riguardato il tutto e mi pare che sia giusto. a parole: quando $x$ si annulla, ti ammazza il termine $n^2$ a denominatore e fa diventare non infinitesimo il numeratore; ma quando $x!=0$ hai un denominatore infinito del 2°ordine e un numeratore infinitesimo del 1° (quell'$1/(nx)+o(1/n)$). In tutto quindi il termine generale è infinitesimo del 3° ordine. Mi pare plausibile.
Partiamo direttamente da $(nx[(1+1/(n^2x^2))^(1/2)-1])/(n^2x+n), x!=0$. Ci servono informazioni per $n\toinfty$, che otterremo sviluppando in serie di Taylor arrestata al secondo ordine la funzione $(1+1/t)^(1/2)-1$ per $t\to+infty$.
(Sto passando dalla variabile $n$ alla $t$ perché a rigore gli sviluppi di Taylor non si applicano alle successioni, ma solo a funzioni di variabile reale.)
Comunque: $(1+1/t)^(1/2)-1=1+1/(2t)+o(1/t)-1=1/(2t)+o(1/t)$. Possiamo dire perciò che $(1+1/(n^2x^2))^(1/2)-1=1/(2n^2x^2)+o(1/(n^2x^2))$. Essendo $x^2$ solo un parametro non nullo, $o(1/(n^2x^2))=o(1/(n^2))$. Quindi il numeratore è $nx*[1/(2n^2x^2)+o(1/(n^2))]=1/(nx)+o(1/n)$.
Perciò il termine generale della serie è $[1/(nx)+o(1/n)]*1/(n^2x+n)=1/(n^3x^2+n^2x)+o(1/n^3)$, che tende a $0$ come $1/(n^3)$, e allora la serie converge se $x!=0$.
Controlla tutto con le pinze. E' da un po' che non faccio esercizi su questi argomenti.
[edit] ho riguardato il tutto e mi pare che sia giusto. a parole: quando $x$ si annulla, ti ammazza il termine $n^2$ a denominatore e fa diventare non infinitesimo il numeratore; ma quando $x!=0$ hai un denominatore infinito del 2°ordine e un numeratore infinitesimo del 1° (quell'$1/(nx)+o(1/n)$). In tutto quindi il termine generale è infinitesimo del 3° ordine. Mi pare plausibile.
Resta da studiare la convergenza totale. Non mi è venuto in mente niente di meglio che studiare la derivata prima. Se chiamiamo $f_n(x)=(sqrt(n^2x^2+1)-nx)/(n^2x+n)$, la derivata prima è $f_n'(x)=(n*x-sqrt(n^2*x^2+1))*(n*x+1+sqrt(n^2*x^2+1))/(sqrt(n^2*x^2+1)*(n*x+1)^2)$. I risultati che ho ottenuto li metto in spoiler:
Ok, grazie.
Prima di provare a fare esercizio però vorrei chiedere come hai fatto a fare lo sviluppo di $sqrt(1 + 1/t)$
Non posso partire dallo sviluppo standard $(1+ t)^\alpha$ perché con $\alpha = 1/2$ ne dovrei calcolare il fattoriale che non è definito per numeri reali.
Hai semplicemente calcolato a mano le derivate e applicato la formula?
Prima di provare a fare esercizio però vorrei chiedere come hai fatto a fare lo sviluppo di $sqrt(1 + 1/t)$
Non posso partire dallo sviluppo standard $(1+ t)^\alpha$ perché con $\alpha = 1/2$ ne dovrei calcolare il fattoriale che non è definito per numeri reali.
Hai semplicemente calcolato a mano le derivate e applicato la formula?
No, no, guarda, lo sviluppo di $(1+x)^alpha$ a cui stai pensando tu funziona per ogni $alpha$ reale. Ti scrivo l'enunciato preciso, tratto dal Marcellini-Sbordone 2:
e segue la dimostrazione.
Serie binomiale. Per ogni $alpha\inRR$, la funzione $f(x)=(1+x)^(alpha)$ è sviluppabile in serie di Mac-Laurin nell'intervallo $(-1, 1)$ e risulta
$(1+x)^(alpha)=sum_{k=0}^infty((alpha),(k))x^k$
dove i numeri $((alpha),(k))$ sono detti coefficienti binomiali [generalizzati] e sono dati da:
$((alpha),(k))={(1, k=0), ((alpha(alpha-1)ldots(alpha-k+1))/(k!), k\inNN-{0}):}$.
e segue la dimostrazione.
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